Номер 33.23, страница 189, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 33. Иррациональные уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 33.23, страница 189.

Условие.

Решите уравнение:

33.23 а) $ (x^2 + 1) + 2\sqrt{x^2 + 1} = 15; $

б) $ \sqrt{x - 2} - \frac{3}{\sqrt{x - 2}} + 2 = 0; $

в) $ 2(x^2 - 9) + 3\sqrt{x^2 - 9} - 5 = 0; $

г) $ \frac{\sqrt{x - 1} - 2}{\sqrt{x - 1} - 4} = \frac{\sqrt{x - 1} - 6}{\sqrt{x - 1} - 7}. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) Исходное уравнение: $(x^2 + 1) + 2\sqrt{x^2 + 1} = 15$.
Это уравнение можно решить методом введения новой переменной. Заметим, что в уравнении присутствует выражение $\sqrt{x^2 + 1}$ и его квадрат $(x^2 + 1)$.
Определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x^2 + 1 \ge 0$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$, то $x^2 + 1 \ge 1$. Следовательно, ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$ (любое действительное число).
Введем замену: пусть $t = \sqrt{x^2 + 1}$. Так как $x^2 + 1 \ge 1$, то $t = \sqrt{x^2 + 1} \ge \sqrt{1} = 1$.
После замены исходное уравнение принимает вид: $t^2 + 2t = 15$.
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $t^2 + 2t - 15 = 0$.
Решим это уравнение относительно $t$ с помощью дискриминанта или по теореме Виета.
По теореме Виета: произведение корней $t_1 \cdot t_2 = -15$, сумма корней $t_1 + t_2 = -2$. Отсюда находим корни: $t_1 = 3$ и $t_2 = -5$.
Проверим найденные корни на соответствие условию $t \ge 1$.
Корень $t_1 = 3$ удовлетворяет условию $3 \ge 1$.
Корень $t_2 = -5$ не удовлетворяет условию $-5 \ge 1$, поэтому он является посторонним.
Выполним обратную замену для $t = 3$:
$\sqrt{x^2 + 1} = 3$.
Возведем обе части уравнения в квадрат: $x^2 + 1 = 3^2$.
$x^2 + 1 = 9$.
$x^2 = 8$.
$x = \pm\sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}$.
Ответ: $\pm 2\sqrt{2}$.

б) Исходное уравнение: $\sqrt{x - 2} - \frac{3}{\sqrt{x - 2}} + 2 = 0$.
Определим ОДЗ. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x - 2 \ge 0$, то есть $x \ge 2$. Кроме того, знаменатель не может быть равен нулю: $\sqrt{x - 2} \ne 0$, что означает $x - 2 \ne 0$, или $x \ne 2$. Объединяя эти условия, получаем ОДЗ: $x > 2$.
Введем замену: пусть $t = \sqrt{x - 2}$. Из ОДЗ следует, что $t > 0$.
Подставим $t$ в уравнение: $t - \frac{3}{t} + 2 = 0$.
Умножим обе части уравнения на $t$ (так как $t \ne 0$), чтобы избавиться от дроби:
$t^2 - 3 + 2t = 0$.
Запишем в стандартном виде: $t^2 + 2t - 3 = 0$.
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета: $t_1 \cdot t_2 = -3$ и $t_1 + t_2 = -2$. Корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = -3$.
Проверим корни на соответствие условию $t > 0$.
Корень $t_1 = 1$ удовлетворяет условию $1 > 0$.
Корень $t_2 = -3$ не удовлетворяет условию $-3 > 0$, это посторонний корень.
Выполним обратную замену для $t = 1$:
$\sqrt{x - 2} = 1$.
Возведем обе части в квадрат: $x - 2 = 1^2$.
$x - 2 = 1$.
$x = 3$.
Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ ($x > 2$). $3 > 2$, значит, корень подходит.
Ответ: $3$.

в) Исходное уравнение: $2(x^2 - 9) + 3\sqrt{x^2 - 9} - 5 = 0$.
Определим ОДЗ: выражение под корнем должно быть неотрицательным. $x^2 - 9 \ge 0 \implies x^2 \ge 9$. Это неравенство выполняется при $x \ge 3$ или $x \le -3$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty, -3] \cup [3, \infty)$.
Введем замену: пусть $t = \sqrt{x^2 - 9}$. По определению арифметического квадратного корня, $t \ge 0$.
Тогда $x^2 - 9 = t^2$. Подставим в уравнение:
$2t^2 + 3t - 5 = 0$.
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(2)(-5) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.
$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm 7}{4}$.
$t_1 = \frac{-3 + 7}{4} = \frac{4}{4} = 1$.
$t_2 = \frac{-3 - 7}{4} = \frac{-10}{4} = -2.5$.
Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$.
Корень $t_1 = 1$ удовлетворяет условию $1 \ge 0$.
Корень $t_2 = -2.5$ не удовлетворяет условию $-2.5 \ge 0$, это посторонний корень.
Выполним обратную замену для $t = 1$:
$\sqrt{x^2 - 9} = 1$.
Возведем обе части в квадрат: $x^2 - 9 = 1^2$.
$x^2 - 9 = 1$.
$x^2 = 10$.
$x = \pm\sqrt{10}$.
Проверим, удовлетворяют ли корни ОДЗ. $\sqrt{10} \approx 3.16$, что больше 3. $-\sqrt{10} \approx -3.16$, что меньше -3. Оба корня входят в ОДЗ.
Ответ: $\pm\sqrt{10}$.

г) Исходное уравнение: $\frac{\sqrt{x - 1} - 2}{\sqrt{x - 1} - 4} = \frac{\sqrt{x - 1} - 6}{\sqrt{x - 1} - 7}$.
Определим ОДЗ.
1. По-первых, выражение под корнем: $x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$.
2. Во-вторых, знаменатели не должны быть равны нулю:
$\sqrt{x - 1} - 4 \ne 0 \implies \sqrt{x - 1} \ne 4 \implies x - 1 \ne 16 \implies x \ne 17$.
$\sqrt{x - 1} - 7 \ne 0 \implies \sqrt{x - 1} \ne 7 \implies x - 1 \ne 49 \implies x \ne 50$.
Итак, ОДЗ: $x \in [1, 17) \cup (17, 50) \cup (50, \infty)$.
Введем замену: пусть $t = \sqrt{x - 1}$. Из ОДЗ следует, что $t \ge 0$, $t \ne 4$, $t \ne 7$.
Уравнение принимает вид: $\frac{t - 2}{t - 4} = \frac{t - 6}{t - 7}$.
Это пропорция, воспользуемся основным свойством пропорции (перекрестное умножение):
$(t - 2)(t - 7) = (t - 6)(t - 4)$.
Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$t^2 - 7t - 2t + 14 = t^2 - 4t - 6t + 24$.
$t^2 - 9t + 14 = t^2 - 10t + 24$.
Вычтем $t^2$ из обеих частей: $-9t + 14 = -10t + 24$.
Перенесем члены с $t$ в левую часть, а константы в правую:
$-9t + 10t = 24 - 14$.
$t = 10$.
Проверим значение $t=10$ на соответствие условиям $t \ge 0$, $t \ne 4$, $t \ne 7$. Все условия выполняются.
Выполним обратную замену:
$\sqrt{x - 1} = 10$.
Возведем обе части в квадрат: $x - 1 = 10^2$.
$x - 1 = 100$.
$x = 101$.
Найденное значение $x=101$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $101$.