Номер 34.3, страница 190, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 34. Комбинаторные и вероятностные задачи к главе 4. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 34.3, страница 190.

Условие.

34.3 Заполните таблицу значений дискриминанта для уравнений вида $ax^2 + bx + c = 0$:

Уравнение	№ 1	№ 2	№ 3	№ 4	№ 5	№ 6	№ 7	№ 8	№ 9	№ 10
$a$	3	7	9	-1	4	-1	4	-3	-1	1
$b$	7	7	6	0	5	6	7	-5	2	3
$c$	4	2	1	3	2	-8	4	4	-1	0
$D$

Какова процентная частота уравнений:

а) не имеющих корней;

б) имеющих единственный корень;

в) имеющих хотя бы один корень?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Сначала вычислим значения дискриминанта (D) для каждого квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ по формуле $D = b^2 - 4ac$.

• Уравнение № 1: $a=3, b=7, c=4 \implies D = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 - 48 = 1$
• Уравнение № 2: $a=7, b=7, c=2 \implies D = 7^2 - 4 \cdot 7 \cdot 2 = 49 - 56 = -7$
• Уравнение № 3: $a=9, b=6, c=1 \implies D = 6^2 - 4 \cdot 9 \cdot 1 = 36 - 36 = 0$
• Уравнение № 4: $a=-1, b=0, c=3 \implies D = 0^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 3 = 0 + 12 = 12$
• Уравнение № 5: $a=4, b=5, c=2 \implies D = 5^2 - 4 \cdot 4 \cdot 2 = 25 - 32 = -7$
• Уравнение № 6: $a=-1, b=6, c=-8 \implies D = 6^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-8) = 36 - 32 = 4$
• Уравнение № 7: $a=4, b=7, c=4 \implies D = 7^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 49 - 64 = -15$
• Уравнение № 8: $a=-3, b=-5, c=4 \implies D = (-5)^2 - 4 \cdot (-3) \cdot 4 = 25 + 48 = 73$
• Уравнение № 9: $a=-1, b=2, c=-1 \implies D = 2^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-1) = 4 - 4 = 0$
• Уравнение № 10: $a=1, b=3, c=0 \implies D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0 = 9 - 0 = 9$

Заполненная таблица выглядит следующим образом:

Уравнение	№ 1	№ 2	№ 3	№ 4	№ 5	№ 6	№ 7	№ 8	№ 9	№ 10
a	3	7	9	-1	4	-1	4	-3	-1	1
b	7	7	6	0	5	6	7	-5	2	3
c	4	2	1	3	2	-8	4	4	-1	0
D	1	-7	0	12	-7	4	-15	73	0	9

Теперь определим процентную частоту для каждой группы уравнений.

а) не имеющих корней;

Уравнение не имеет действительных корней, если его дискриминант отрицателен ($D < 0$). В нашем случае это уравнения № 2 ($D=-7$), № 5 ($D=-7$) и № 7 ($D=-15$). Всего 3 уравнения из 10.

Процентная частота = $\frac{\text{количество уравнений без корней}}{\text{общее количество уравнений}} \cdot 100\% = \frac{3}{10} \cdot 100\% = 30\%$.

Ответ: 30%.

б) имеющих единственный корень;

Уравнение имеет один корень, если его дискриминант равен нулю ($D = 0$). Это уравнения № 3 ($D=0$) и № 9 ($D=0$). Всего 2 уравнения из 10.

Процентная частота = $\frac{\text{количество уравнений с одним корнем}}{\text{общее количество уравнений}} \cdot 100\% = \frac{2}{10} \cdot 100\% = 20\%$.

Ответ: 20%.

в) имеющих хотя бы один корень?

Уравнение имеет хотя бы один корень, если оно имеет один корень ($D = 0$) или два корня ($D > 0$). Это условие эквивалентно $D \ge 0$.

Количество таких уравнений можно найти, сложив количество уравнений с одним корнем и с двумя корнями, или вычтя из общего числа количество уравнений без корней.

Уравнения с $D>0$: № 1, № 4, № 6, № 8, № 10 (5 уравнений).

Уравнения с $D=0$: № 3, № 9 (2 уравнения).

Всего уравнений, имеющих хотя бы один корень: $5 + 2 = 7$.

Процентная частота = $\frac{\text{количество уравнений с хотя бы одним корнем}}{\text{общее количество уравнений}} \cdot 100\% = \frac{7}{10} \cdot 100\% = 70\%$.

Ответ: 70%.