Номер 2, страница 192, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Домашняя контрольная работа №4. Вариант 1. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 2, страница 192.

Условие.

Решите уравнение:

a) $2(x + 4) - x(x - 5) = 7(x - 8)$;

б) $6x^4 + x^2 - 1 = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) $2(x + 4) - x(x - 5) = 7(x - 8)$

Для решения данного уравнения сначала раскроем все скобки в обеих частях уравнения:

$2 \cdot x + 2 \cdot 4 - x \cdot x - x \cdot (-5) = 7 \cdot x - 7 \cdot 8$

$2x + 8 - x^2 + 5x = 7x - 56$

Теперь приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$-x^2 + (2x + 5x) + 8 = 7x - 56$

$-x^2 + 7x + 8 = 7x - 56$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы свести его к стандартному виду:

$-x^2 + 7x - 7x + 8 + 56 = 0$

$-x^2 + 64 = 0$

Умножим обе части уравнения на $-1$ для удобства:

$x^2 - 64 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Перенесем свободный член в правую часть:

$x^2 = 64$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения, чтобы найти $x$:

$x = \pm\sqrt{64}$

Таким образом, уравнение имеет два корня:

$x_1 = 8$

$x_2 = -8$

Ответ: $-8; 8$.

б) $6x^4 + x^2 - 1 = 0$

Это биквадратное уравнение. Для его решения введем замену переменной. Пусть $t = x^2$. Учитывая, что квадрат любого действительного числа является неотрицательным, должно выполняться условие $t \ge 0$.

Подставим новую переменную в исходное уравнение:

$6(x^2)^2 + x^2 - 1 = 0$

$6t^2 + t - 1 = 0$

Мы получили стандартное квадратное уравнение относительно переменной $t$. Решим его с помощью дискриминанта.

Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

Для нашего уравнения $a=6, b=1, c=-1$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 1 + 24 = 25$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$t_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{-1 + 5}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

$t_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{-1 - 5}{12} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}$

Теперь необходимо проверить найденные значения $t$ на соответствие условию $t \ge 0$.

Корень $t_1 = \frac{1}{3}$ удовлетворяет условию, так как $\frac{1}{3} \ge 0$.

Корень $t_2 = -\frac{1}{2}$ не удовлетворяет условию, так как $-\frac{1}{2} < 0$. Следовательно, это посторонний корень.

Выполним обратную замену для подходящего корня $t_1 = \frac{1}{3}$:

$x^2 = \frac{1}{3}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$x = \pm\sqrt{\frac{1}{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$x = \pm\frac{1}{\sqrt{3}} = \pm\frac{1 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $\pm\frac{\sqrt{3}}{3}$.