Номер 6, страница 192, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Домашняя контрольная работа №4. Вариант 1. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 6, страница 192.

Условие.

6 Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $2x^2 - 9x - 12 = 0$. Не решая уравнения, найдите:

а) $x_1^2x_2 + x_1x_2^2$;

б) $\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2}$;

в) $x_1^3 + x_2^3$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для решения этой задачи, не находя корней уравнения, мы воспользуемся теоремой Виета. Для квадратного уравнения общего вида $ax^2 + bx + c = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
• Произведение корней: $x_1x_2 = \frac{c}{a}$

В нашем уравнении $2x^2 - 9x - 12 = 0$ коэффициенты равны: $a = 2$, $b = -9$, $c = -12$.

Найдем сумму и произведение его корней:

$x_1 + x_2 = -\frac{-9}{2} = \frac{9}{2}$

$x_1x_2 = \frac{-12}{2} = -6$

Теперь мы можем использовать эти значения для нахождения требуемых выражений.

а) $x_1^2x_2 + x_1x_2^2$

Сначала преобразуем выражение, вынеся за скобки общий множитель $x_1x_2$:

$x_1^2x_2 + x_1x_2^2 = x_1x_2(x_1 + x_2)$

Теперь подставим найденные значения суммы и произведения корней:

$x_1x_2(x_1 + x_2) = (-6) \cdot \left(\frac{9}{2}\right) = -\frac{54}{2} = -27$

Ответ: $-27$.

б) $\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2}$

Приведем дроби к общему знаменателю $x_1x_2$:

$\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2} = \frac{x_2^2 + x_1^2}{x_1x_2}$

Нам нужно выразить $x_1^2 + x_2^2$ через $x_1 + x_2$ и $x_1x_2$. Для этого воспользуемся формулой квадрата суммы: $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$.

Отсюда $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.

Подставим это в наше выражение:

$\frac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2}{x_1x_2}$

Теперь подставим числовые значения:

$\frac{\left(\frac{9}{2}\right)^2 - 2 \cdot (-6)}{-6} = \frac{\frac{81}{4} + 12}{-6} = \frac{\frac{81}{4} + \frac{48}{4}}{-6} = \frac{\frac{129}{4}}{-6} = -\frac{129}{4 \cdot 6} = -\frac{129}{24}$

Сократим дробь на 3:

$-\frac{129 \div 3}{24 \div 3} = -\frac{43}{8}$

Ответ: $-\frac{43}{8}$.

в) $x_1^3 + x_2^3$

Для нахождения суммы кубов корней воспользуемся тождеством:

$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2)$

Мы уже знаем, что $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = \frac{129}{4}$.

Тогда $x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2 = (x_1^2 + x_2^2) - x_1x_2 = \frac{129}{4} - (-6) = \frac{129}{4} + 6 = \frac{129 + 24}{4} = \frac{153}{4}$.

Подставим все значения в исходную формулу:

$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2) \cdot (\frac{153}{4}) = \frac{9}{2} \cdot \frac{153}{4} = \frac{9 \cdot 153}{2 \cdot 4} = \frac{1377}{8}$

Альтернативный способ:

Можно использовать другую формулу: $x_1^3 + x_2^3 = (x_1+x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1+x_2)$.

Подставим значения:

$\left(\frac{9}{2}\right)^3 - 3(-6)\left(\frac{9}{2}\right) = \frac{729}{8} + 18\left(\frac{9}{2}\right) = \frac{729}{8} + 9 \cdot 9 = \frac{729}{8} + 81 = \frac{729 + 81 \cdot 8}{8} = \frac{729 + 648}{8} = \frac{1377}{8}$

Ответ: $\frac{1377}{8}$.