Номер 8, страница 192, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Домашняя контрольная работа №4. Вариант 1. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 8, страница 192.

Условие.

8 Решите уравнение $x - 1 = \sqrt{2x^2 - 3x - 5}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Исходное уравнение: $x - 1 = \sqrt{2x^2 - 3x - 5}$.

Данное уравнение является иррациональным. Для его решения сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). ОДЗ определяется двумя условиями:

1. Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным: $2x^2 - 3x - 5 \ge 0$.

2. Так как арифметический квадратный корень всегда неотрицателен, левая часть уравнения также должна быть неотрицательной: $x - 1 \ge 0$.

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} x - 1 \ge 0 \\ 2x^2 - 3x - 5 \ge 0 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем: $x \ge 1$.

Для решения второго неравенства $2x^2 - 3x - 5 \ge 0$ найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2x^2 - 3x - 5 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 7}{4} = \frac{-4}{4} = -1$.

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 7}{4} = \frac{10}{4} = 2.5$.

Ветви параболы $y = 2x^2 - 3x - 5$ направлены вверх, поэтому неравенство $2x^2 - 3x - 5 \ge 0$ выполняется для $x \in (-\infty, -1] \cup [2.5, +\infty)$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств:

$\begin{cases} x \ge 1 \\ x \in (-\infty, -1] \cup [2.5, +\infty) \end{cases}$

Пересечением этих множеств является промежуток $x \in [2.5, +\infty)$. Это и есть ОДЗ исходного уравнения.

Теперь решим само уравнение, возведя обе его части в квадрат (это преобразование будет равносильным на найденной ОДЗ):

$(x - 1)^2 = (\sqrt{2x^2 - 3x - 5})^2$

$x^2 - 2x + 1 = 2x^2 - 3x - 5$

Перенесем все члены в правую часть и приведем подобные:

$0 = 2x^2 - x^2 - 3x + 2x - 5 - 1$

$x^2 - x - 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 1, произведение равно -6. Отсюда корни $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.

Либо найдем корни через дискриминант:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 = 5^2$.

$x_1 = \frac{1 - 5}{2} = -2$.

$x_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3$.

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ ($x \ge 2.5$).

Корень $x_1 = -2$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $-2 < 2.5$. Следовательно, это посторонний корень.

Корень $x_2 = 3$ удовлетворяет ОДЗ, так как $3 \ge 2.5$.

Выполним проверку, подставив $x=3$ в исходное уравнение:

$3 - 1 = \sqrt{2 \cdot (3)^2 - 3 \cdot 3 - 5}$

$2 = \sqrt{18 - 9 - 5}$

$2 = \sqrt{4}$

$2 = 2$

Равенство верное, корень найден правильно.

Ответ: 3