Номер 6, страница 193, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Домашняя контрольная работа №4. Вариант 2. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 6, страница 193.

Условие.

6 Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $3x^2 - 4x - 1 = 0$. Не решая уравнения, найдите:

a) $x_1^2x_2 + x_1x_2^2$;

б) $\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2}$;

в) $x_1^3 + x_2^3$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для решения этой задачи не требуется находить сами корни $x_1$ и $x_2$ уравнения $3x^2 - 4x - 1 = 0$. Вместо этого мы воспользуемся теоремой Виета, которая связывает коэффициенты многочлена с суммами и произведениями его корней.
Для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ теорема Виета устанавливает следующие соотношения:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
Произведение корней: $x_1x_2 = \frac{c}{a}$
В нашем уравнении $3x^2 - 4x - 1 = 0$ коэффициенты равны: $a = 3$, $b = -4$, $c = -1$.
Прежде всего, убедимся, что корни существуют. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(3)(-1) = 16 + 12 = 28$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Теперь рассчитаем сумму и произведение корней:
$x_1 + x_2 = -\frac{-4}{3} = \frac{4}{3}$
$x_1x_2 = \frac{-1}{3}$
Используя эти значения, найдем требуемые выражения.

а) $x_1^2x_2 + x_1x_2^2$
Сначала вынесем общий множитель $x_1x_2$ за скобки:
$x_1^2x_2 + x_1x_2^2 = x_1x_2(x_1 + x_2)$
Теперь подставим найденные значения суммы и произведения корней:
$x_1x_2(x_1 + x_2) = \left(-\frac{1}{3}\right) \cdot \left(\frac{4}{3}\right) = -\frac{4}{9}$
Ответ: $-\frac{4}{9}$

б) $\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2}$
Приведем дроби к общему знаменателю $x_1x_2$:
$\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2} = \frac{x_2^2 + x_1^2}{x_1x_2}$
Числитель $x_1^2 + x_2^2$ можно выразить через известные нам величины, используя тождество $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$. Отсюда следует: $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.
Подставим это в наше выражение:
$\frac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2}{x_1x_2}$
Подставим числовые значения:
$\frac{\left(\frac{4}{3}\right)^2 - 2\left(-\frac{1}{3}\right)}{-\frac{1}{3}} = \frac{\frac{16}{9} + \frac{2}{3}}{-\frac{1}{3}} = \frac{\frac{16}{9} + \frac{6}{9}}{-\frac{1}{3}} = \frac{\frac{22}{9}}{-\frac{1}{3}} = \frac{22}{9} \cdot (-3) = -\frac{22}{3}$
Ответ: $-\frac{22}{3}$

в) $x_1^3 + x_2^3$
Для нахождения суммы кубов корней воспользуемся одной из формул сокращенного умножения: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$. Преобразуем ее, чтобы использовать известные нам величины:
$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2) = (x_1 + x_2)((x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2) - 3x_1x_2) = (x_1 + x_2)((x_1 + x_2)^2 - 3x_1x_2)$
Теперь подставим значения суммы и произведения корней:
$\left(\frac{4}{3}\right) \cdot \left(\left(\frac{4}{3}\right)^2 - 3\left(-\frac{1}{3}\right)\right) = \frac{4}{3} \cdot \left(\frac{16}{9} + 1\right) = \frac{4}{3} \cdot \left(\frac{16}{9} + \frac{9}{9}\right) = \frac{4}{3} \cdot \frac{25}{9} = \frac{100}{27}$
Ответ: $\frac{100}{27}$