Номер 9, страница 193, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Домашняя контрольная работа №4. Вариант 2. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 9, страница 193.

Условие.

9 Составляют квадратное уравнение вида $x^2 + bx + a = 0$. Коэффициент a произвольно выбирают из чисел 1, 2, 3, 4, а коэффициент b – из чисел 1, 2, 4. Какова вероятность того, что получится квадратное уравнение, у которого нет корней?

Решение 1.

Решение 4.

Решение 6.

Для решения задачи сначала определим общее число возможных квадратных уравнений. Коэффициент $a$ может быть выбран из множества $\{1, 2, 3, 4\}$, что дает 4 варианта. Коэффициент $b$ может быть выбран из множества $\{1, 2, 4\}$, что дает 3 варианта. Поскольку выбор коэффициентов $a$ и $b$ является независимыми событиями, общее число возможных комбинаций (и, следовательно, уравнений) равно произведению числа вариантов для каждого коэффициента: $N = 4 \times 3 = 12$.

Квадратное уравнение вида $x^2 + bx + a = 0$ не имеет действительных корней, если его дискриминант $D$ отрицателен. Дискриминант для данного уравнения вычисляется по формуле: $D = b^2 - 4 \cdot 1 \cdot a = b^2 - 4a$. Таким образом, условие отсутствия корней — это $D < 0$, что эквивалентно неравенству $b^2 < 4a$.

Теперь найдем количество пар $(a, b)$, удовлетворяющих этому неравенству. Переберем все возможные значения $a$ и для каждого из них проверим, какие значения $b$ подходят.

• Пусть $a = 1$. Неравенство принимает вид $b^2 < 4 \cdot 1$, то есть $b^2 < 4$. Из возможных значений $b \in \{1, 2, 4\}$ этому условию удовлетворяет только $b = 1$ ($1^2 = 1 < 4$). Получаем 1 благоприятный исход.
• Пусть $a = 2$. Неравенство принимает вид $b^2 < 4 \cdot 2$, то есть $b^2 < 8$. Из возможных значений $b \in \{1, 2, 4\}$ этому условию удовлетворяют $b = 1$ ($1^2 = 1 < 8$) и $b = 2$ ($2^2 = 4 < 8$). Получаем 2 благоприятных исхода.
• Пусть $a = 3$. Неравенство принимает вид $b^2 < 4 \cdot 3$, то есть $b^2 < 12$. Из возможных значений $b \in \{1, 2, 4\}$ этому условию удовлетворяют $b = 1$ ($1^2 = 1 < 12$) и $b = 2$ ($2^2 = 4 < 12$). Получаем 2 благоприятных исхода.
• Пусть $a = 4$. Неравенство принимает вид $b^2 < 4 \cdot 4$, то есть $b^2 < 16$. Из возможных значений $b \in \{1, 2, 4\}$ этому условию удовлетворяют $b = 1$ ($1^2 = 1 < 16$) и $b = 2$ ($2^2 = 4 < 16$). Получаем 2 благоприятных исхода.

Суммируем количество благоприятных исходов: $M = 1 + 2 + 2 + 2 = 7$.

Вероятность события — это отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов. $P = \frac{M}{N} = \frac{7}{12}$.

Ответ: $\frac{7}{12}$.