Номер 8, страница 193, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Домашняя контрольная работа №4. Вариант 2. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 8, страница 193.

Условие.

8 Решите уравнение $\sqrt{x^2 + 3x + 3} = 2x + 1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Данное уравнение является иррациональным уравнением вида $\sqrt{f(x)} = g(x)$. Такое уравнение равносильно системе, в которой выражение под корнем приравнивается к квадрату правой части, и правая часть должна быть неотрицательной:

$\begin{cases} f(x) = (g(x))^2 \\ g(x) \ge 0 \end{cases}$

В нашем случае $f(x) = x^2 + 3x + 3$ и $g(x) = 2x + 1$.Применим эту систему к исходному уравнению $\sqrt{x^2 + 3x + 3} = 2x + 1$:

$\begin{cases} x^2 + 3x + 3 = (2x + 1)^2 \\ 2x + 1 \ge 0 \end{cases}$

Отметим также, что подкоренное выражение $x^2 + 3x + 3$ должно быть неотрицательным. Найдем дискриминант этого квадратного трехчлена: $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 9 - 12 = -3$. Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$) и старший коэффициент ($a=1$) положительный, то выражение $x^2 + 3x + 3$ всегда положительно при любых действительных значениях $x$. Поэтому дополнительное ограничение на $x$ не требуется.

Теперь решим систему. Сначала решим неравенство, чтобы найти область определения для корней:

$2x + 1 \ge 0$

$2x \ge -1$

$x \ge -0.5$

Далее решим уравнение, возведя обе части в квадрат:

$x^2 + 3x + 3 = (2x + 1)^2$

$x^2 + 3x + 3 = 4x^2 + 4x + 1$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$4x^2 - x^2 + 4x - 3x + 1 - 3 = 0$

$3x^2 + x - 2 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25$

$\sqrt{D} = \sqrt{25} = 5$

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 5}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 5}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни условию $x \ge -0.5$:

Корень $x_1 = -1$ не удовлетворяет условию, так как $-1 < -0.5$. Следовательно, это посторонний корень.

Корень $x_2 = \frac{2}{3}$ удовлетворяет условию, так как $\frac{2}{3} \approx 0.67$, и $0.67 > -0.5$.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $\frac{2}{3}$