Номер 7, страница 193, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Домашняя контрольная работа №4. Вариант 2. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 7, страница 193.

Условие.

7 Дано уравнение $x^2+(4k-1)x+(k^2-k+8)=0$. Известно, что произведение его корней равно 10. Найдите значение параметра $k$ и корни уравнения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Нахождение значения параметра k

Дано квадратное уравнение $x^2 + (4k - 1)x + (k^2 - k + 8) = 0$.

Согласно теореме Виета для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$, произведение его корней $x_1$ и $x_2$ равно свободному члену $q$. В данном уравнении свободный член равен $k^2 - k + 8$.

По условию задачи, произведение корней равно 10. Приравниваем свободный член к 10 и решаем полученное уравнение относительно $k$:

$k^2 - k + 8 = 10$

$k^2 - k - 2 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $k$. Его корни можно найти, например, разложив на множители: $(k-2)(k+1)=0$. Отсюда получаем два возможных значения для параметра $k$:

$k_1 = 2$

$k_2 = -1$

Нахождение корней уравнения

Теперь для каждого найденного значения $k$ подставим его в исходное уравнение и найдем его корни.

Случай 1: k = 2

Подставляем $k=2$ в уравнение:

$x^2 + (4 \cdot 2 - 1)x + (2^2 - 2 + 8) = 0$

$x^2 + 7x + 10 = 0$

Корни этого уравнения можно найти по теореме Виета: их сумма равна -7, а произведение равно 10. Следовательно, корни:

$x_1 = -5$, $x_2 = -2$.

Случай 2: k = -1

Подставляем $k=-1$ в уравнение:

$x^2 + (4 \cdot (-1) - 1)x + ((-1)^2 - (-1) + 8) = 0$

$x^2 - 5x + 10 = 0$

Для нахождения корней вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 25 - 40 = -15$

Поскольку дискриминант отрицателен ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней, но имеет два комплексных сопряженных корня. Найдем их по стандартной формуле:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{-15}}{2} = \frac{5 \pm i\sqrt{15}}{2}$

Корни в этом случае: $x_1 = \frac{5 - i\sqrt{15}}{2}$ и $x_2 = \frac{5 + i\sqrt{15}}{2}$.

Ответ:

Задача имеет два решения:

1. При $k=2$ корни уравнения: $x_1 = -5$, $x_2 = -2$.

2. При $k=-1$ корни уравнения: $x_1 = \frac{5 - i\sqrt{15}}{2}$, $x_2 = \frac{5 + i\sqrt{15}}{2}$.