Номер 5, страница 193, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Домашняя контрольная работа №4. Вариант 2. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 5, страница 193.

Условие.

5 Время, затрачиваемое автобусом на прохождение расстояния $325 \text{ км}$, при составлении нового расписания движения автобусов сокращено на $40 \text{ мин}$. Найдите скорость движения автобуса по новому расписанию, если известно, что она на $10 \text{ км/ч}$ больше скорости, предусмотренной старым расписанием.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ км/ч — скорость автобуса, предусмотренная старым расписанием. Тогда скорость автобуса по новому расписанию составляет $(x + 10)$ км/ч.

Расстояние, которое должен проехать автобус, равно 325 км.

Время, затрачиваемое на путь по старому расписанию, можно выразить формулой $t_1 = \frac{S}{v} = \frac{325}{x}$ часов.

Время, затрачиваемое на путь по новому расписанию, составляет $t_2 = \frac{S}{v} = \frac{325}{x+10}$ часов.

По условию, время в пути по новому расписанию сокращено на 40 минут. Необходимо перевести эту разницу во времени в часы, чтобы все единицы измерения были согласованы:

40 мин = $\frac{40}{60}$ ч = $\frac{2}{3}$ ч.

Разница во времени между старым и новым расписанием составляет $\frac{2}{3}$ часа. Это можно записать в виде уравнения:

$t_1 - t_2 = \frac{2}{3}$

Подставим выражения для $t_1$ и $t_2$ в это уравнение:

$\frac{325}{x} - \frac{325}{x+10} = \frac{2}{3}$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$. Для этого приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+10)$:

$\frac{325(x+10) - 325x}{x(x+10)} = \frac{2}{3}$

Раскроем скобки в числителе левой части:

$\frac{325x + 3250 - 325x}{x^2 + 10x} = \frac{2}{3}$

$\frac{3250}{x^2 + 10x} = \frac{2}{3}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$2 \cdot (x^2 + 10x) = 3 \cdot 3250$

$2x^2 + 20x = 9750$

Разделим все члены уравнения на 2, чтобы упростить его:

$x^2 + 10x = 4875$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 10x - 4875 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4875) = 100 + 19500 = 19600$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x = \frac{-10 \pm \sqrt{19600}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 \pm 140}{2}$

Уравнение имеет два корня:

$x_1 = \frac{-10 + 140}{2} = \frac{130}{2} = 65$

$x_2 = \frac{-10 - 140}{2} = \frac{-150}{2} = -75$

Так как скорость не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -75$ не имеет физического смысла. Следовательно, скорость автобуса по старому расписанию $x = 65$ км/ч.

В задаче требуется найти скорость движения автобуса по новому расписанию, которая равна $(x + 10)$ км/ч.

$65 + 10 = 75$ км/ч.

Ответ: 75 км/ч.