Номер 7, страница 192, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Домашняя контрольная работа №4. Вариант 1. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 7, страница 192.

Условие.

7 Дано уравнение $x^2 + (t^2 - 3t - 11)x + 6t = 0$. Известно, что сумма его корней равна 1. Найдите значение параметра $t$ и корни уравнения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Данное уравнение $x^2 + (t^2 - 3t - 11)x + 6t = 0$ является квадратным уравнением вида $ax^2+bx+c=0$, где коэффициент при старшем члене $a=1$.

Нахождение значения параметра t

Для приведенного квадратного уравнения (где $a=1$) по теореме Виета сумма корней $x_1$ и $x_2$ равна коэффициенту при $x$, взятому с противоположным знаком:

$x_1 + x_2 = -(t^2 - 3t - 11)$.

По условию задачи известно, что сумма корней равна 1, то есть $x_1 + x_2 = 1$. Приравняем правые части двух выражений:

$-(t^2 - 3t - 11) = 1$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно параметра $t$:

$-t^2 + 3t + 11 = 1$

$-t^2 + 3t + 10 = 0$

Умножим обе части уравнения на -1 для удобства:

$t^2 - 3t - 10 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $t$. Найдем его корни с помощью дискриминанта $D_t$:

$D_t = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$.

Корни для $t$ равны:

$t_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 7}{2} = 5$

$t_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 7}{2} = -2$

Мы получили два возможных значения для параметра $t$. Однако, исходное уравнение должно иметь действительные корни, чтобы можно было говорить об их сумме. Проверим условие существования корней: дискриминант исходного уравнения $D_x$ должен быть неотрицательным ($D_x \ge 0$).

$D_x = b^2 - 4ac = (t^2 - 3t - 11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (6t)$.

Из нашего предыдущего шага мы знаем, что $t^2 - 3t - 11 = -1$. Подставим это в формулу для $D_x$:

$D_x = (-1)^2 - 24t = 1 - 24t$.

Теперь проверим условие $D_x \ge 0$ для каждого найденного значения $t$:

1. При $t = 5$: $D_x = 1 - 24 \cdot 5 = 1 - 120 = -119$. Так как $D_x < 0$, при данном значении $t$ уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, $t=5$ не является решением.

2. При $t = -2$: $D_x = 1 - 24 \cdot (-2) = 1 + 48 = 49$. Так как $D_x > 0$, при данном значении $t$ уравнение имеет два действительных корня. Следовательно, $t=-2$ является решением.

Нахождение корней уравнения

Мы установили, что единственное подходящее значение параметра $t=-2$. Подставим его в исходное уравнение:

$x^2 + ((-2)^2 - 3(-2) - 11)x + 6(-2) = 0$

$x^2 + (4 + 6 - 11)x - 12 = 0$

$x^2 - x - 12 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение. Его дискриминант мы уже вычислили: $D_x = 49$.

Найдем корни $x_1$ и $x_2$ по формуле:

$x_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 7}{2}$.

Таким образом, корни уравнения:

$x_1 = \frac{1 + 7}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$x_2 = \frac{1 - 7}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Проверка: сумма корней $4 + (-3) = 1$, что соответствует условию задачи.

Ответ: значение параметра $t=-2$, корни уравнения: $x_1=4$ и $x_2=-3$.