Номер 4, страница 192, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Домашняя контрольная работа №4. Вариант 1. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 4, страница 192.

Условие.

4 Решите уравнение $\frac{1}{3x + 1} + \frac{1}{9x^2 + 6x + 1} = 2$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Данное уравнение:

$$ \frac{1}{3x+1} + \frac{1}{9x^2+6x+1} = 2 $$

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ)

Знаменатели дробей в уравнении не могут быть равны нулю. Поэтому необходимо исключить значения $x$, которые обращают знаменатели в ноль.

Первый знаменатель: $3x + 1 \neq 0 \implies 3x \neq -1 \implies x \neq -\frac{1}{3}$.

Второй знаменатель: $9x^2+6x+1$. Заметим, что этот трехчлен является полным квадратом суммы по формуле $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.

В нашем случае $a = 3x$ и $b = 1$. Тогда $9x^2+6x+1 = (3x)^2 + 2 \cdot (3x) \cdot 1 + 1^2 = (3x+1)^2$.

Таким образом, условие $9x^2+6x+1 \neq 0$ равносильно условию $(3x+1)^2 \neq 0$, что, в свою очередь, означает $3x+1 \neq 0$. Это то же самое ограничение, что и для первого знаменателя.

Итак, ОДЗ уравнения: $x \neq -\frac{1}{3}$.

2. Преобразование и решение уравнения

Подставим разложенный на множители знаменатель в исходное уравнение:

$$ \frac{1}{3x+1} + \frac{1}{(3x+1)^2} = 2 $$

Для упрощения решения введем замену переменной. Пусть $t = \frac{1}{3x+1}$. Тогда уравнение примет вид квадратного уравнения относительно $t$:

$$ t + t^2 = 2 $$

Перенесем все члены в левую часть:

$$ t^2 + t - 2 = 0 $$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна $-1$, а их произведение равно $-2$. Корнями являются $t_1 = 1$ и $t_2 = -2$.

3. Обратная замена

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.

Случай 1: $t = 1$

$$ \frac{1}{3x+1} = 1 $$

Умножим обе части на $3x+1$ (мы знаем, что это выражение не равно нулю):

$$ 1 = 3x + 1 $$

$$ 3x = 0 $$

$$ x_1 = 0 $$

Случай 2: $t = -2$

$$ \frac{1}{3x+1} = -2 $$

Умножим обе части на $3x+1$:

$$ 1 = -2(3x+1) $$

$$ 1 = -6x - 2 $$

$$ 3 = -6x $$

$$ x_2 = \frac{3}{-6} = -\frac{1}{2} $$

4. Проверка корней

Найденные корни $x_1 = 0$ и $x_2 = -\frac{1}{2}$ необходимо проверить на соответствие ОДЗ ($x \neq -\frac{1}{3}$).

Оба корня $0 \neq -\frac{1}{3}$ и $-\frac{1}{2} \neq -\frac{1}{3}$ удовлетворяют ОДЗ.

Следовательно, оба значения являются решениями уравнения.

Ответ: $x_1 = 0$, $x_2 = -\frac{1}{2}$.