Номер 34.5, страница 191, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 34. Комбинаторные и вероятностные задачи к главе 4. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 34.5, страница 191.

Условие.

34.5 Уравнение относительно переменной $x$ имеет вид $ax + \frac{b}{x} + c = 0,$

где коэффициенты $a, b$ — натуральные числа от 1 до 5 (совпадения допустимы), а коэффициент $c$ равен 6 или 7.

а) Изобразите схематично дерево вариантов составления уравнений такого вида.

б) Сколько различных уравнений такого вида можно составить?

в) Сколько среди них уравнений, у которых $a = b$?

г) Сколько среди них уравнений, у которых $c = 2a$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

В задаче рассматривается уравнение вида $ax + \frac{b}{x} + c = 0$, где коэффициенты принимают следующие значения:

• $a \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$ (5 вариантов)
• $b \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$ (5 вариантов)
• $c \in \{6, 7\}$ (2 варианта)

а) Изобразите схематично дерево вариантов составления уравнений такого вида.

Дерево вариантов иллюстрирует все возможные комбинации коэффициентов. Построение дерева происходит в три этапа:

1. Выбор коэффициента $a$. Корень дерева имеет 5 основных веток, каждая из которых соответствует одному из пяти возможных значений $a$.
2. Выбор коэффициента $b$. От каждой из 5 веток для $a$ отходят еще по 5 веток, соответствующих пяти возможным значениям $b$.
3. Выбор коэффициента $c$. От каждой из полученных $5 \times 5 = 25$ веток отходят еще по 2 ветки, соответствующие двум возможным значениям $c$.

Каждый полный путь от корня до конечного листа дерева определяет уникальный набор коэффициентов $(a, b, c)$ и, следовательно, уникальное уравнение.

Ниже представлен фрагмент дерева вариантов для случая, когда $a=1$:

• $a=1$
  • $b=1$
    • $c=6 \implies 1x + \frac{1}{x} + 6 = 0$
    • $c=7 \implies 1x + \frac{1}{x} + 7 = 0$
  • $b=2$
    • $c=6 \implies 1x + \frac{2}{x} + 6 = 0$
    • $c=7 \implies 1x + \frac{2}{x} + 7 = 0$
  • $b=3$
    • $c=6 \implies 1x + \frac{3}{x} + 6 = 0$
    • $c=7 \implies 1x + \frac{3}{x} + 7 = 0$
  • $b=4$
    • $c=6 \implies 1x + \frac{4}{x} + 6 = 0$
    • $c=7 \implies 1x + \frac{4}{x} + 7 = 0$
  • $b=5$
    • $c=6 \implies 1x + \frac{5}{x} + 6 = 0$
    • $c=7 \implies 1x + \frac{5}{x} + 7 = 0$

Аналогичные структуры ветвления существуют для $a=2, a=3, a=4$ и $a=5$.

Ответ: Схема дерева вариантов описана и частично изображена выше. Оно состоит из трех уровней ветвления, соответствующих выбору коэффициентов $a, b$ и $c$.

б) Сколько различных уравнений такого вида можно составить?

Для нахождения общего числа различных уравнений воспользуемся комбинаторным правилом произведения. Поскольку выбор каждого коэффициента независим, мы должны перемножить количество вариантов для каждого из них.

Число вариантов для $a$: 5.
Число вариантов для $b$: 5.
Число вариантов для $c$: 2.

Общее количество уравнений $N$ равно: $N = 5 \times 5 \times 2 = 50$.

Ответ: 50 уравнений.

в) Сколько среди них уравнений, у которых $a = b$?

Рассмотрим условие $a = b$. Коэффициенты $a$ и $b$ должны принимать одинаковые значения. Так как $a, b \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$, то возможны следующие пары $(a, b)$: $(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5)$.

Таким образом, существует 5 вариантов выбора для совпадающих $a$ и $b$. Выбор коэффициента $c$ остается независимым и имеет 2 варианта ($c=6$ или $c=7$).

Количество уравнений, удовлетворяющих условию $a=b$, равно: $N_{a=b} = 5 \times 2 = 10$.

Ответ: 10 уравнений.

г) Сколько среди них уравнений, у которых $c = 2a$?

Рассмотрим условие $c = 2a$. Проверим, какие из допустимых значений $a$ и $c$ удовлетворяют этому равенству.

$a \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$
$c \in \{6, 7\}$

Переберем все возможные значения $a$:

• Если $a=1$, то $c = 2 \times 1 = 2$. Это значение не входит в множество $\{6, 7\}$.
• Если $a=2$, то $c = 2 \times 2 = 4$. Это значение не входит в множество $\{6, 7\}$.
• Если $a=3$, то $c = 2 \times 3 = 6$. Это значение входит в множество $\{6, 7\}$. Значит, пара $(a=3, c=6)$ является решением.
• Если $a=4$, то $c = 2 \times 4 = 8$. Это значение не входит в множество $\{6, 7\}$.
• Если $a=5$, то $c = 2 \times 5 = 10$. Это значение не входит в множество $\{6, 7\}$.

Таким образом, условию $c=2a$ удовлетворяет только одна пара коэффициентов: $a=3$ и $c=6$.

При этом выбор коэффициента $b$ остается независимым и имеет 5 вариантов.

Количество уравнений, удовлетворяющих условию $c=2a$, равно: $N_{c=2a} = 1 \text{ (вариант для пары a и c)} \times 5 \text{ (вариантов для b)} = 5$.

Ответ: 5 уравнений.