Номер 34.2, страница 190, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 34. Комбинаторные и вероятностные задачи к главе 4. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 34.2, страница 190.

Условие.

34.2 Для составления квадратного уравнения с заранее заданными корнями $x_1$ и $x_2$ поступают так. Сначала составляют произведение $(x - x_1)(x - x_2)$. Затем раскрывают скобки и приводят подобные члены. Полученный квадратный трёхчлен приравнивают нулю. Сколько различных квадратных уравнений можно составить таким образом, выбирая:

a) корень $x_1$ из чисел 1, 2, а корень $x_2$ из чисел 5, 6;

б) корень $x_1$ из чисел 1, 2, 3, а корень $x_2$ из чисел 4, 5, 6;

в) оба корня из чисел 2, 3, 4, если совпадение корней допустимо;

г) оба корня из чисел 2, 3, 4, если корни должны быть различными?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Квадратное уравнение с корнями $x_1$ и $x_2$ можно составить по формуле $(x - x_1)(x - x_2) = 0$. Раскрыв скобки, получим приведенное квадратное уравнение $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$. Каждому уникальному набору корней $\{x_1, x_2\}$ соответствует одно уникальное приведенное квадратное уравнение. Таким образом, задача сводится к подсчету количества различных наборов из двух корней, которые можно составить по заданным условиям.

а) корень $x_1$ из чисел 1, 2, а корень $x_2$ из чисел 5, 6;

Для выбора первого корня $x_1$ есть 2 варианта (числа 1 или 2). Для выбора второго корня $x_2$ также есть 2 варианта (числа 5 или 6). Поскольку множества, из которых выбираются корни, не пересекаются, то $x_1$ никогда не будет равен $x_2$, и каждая пара $(x_1, x_2)$ будет уникальной. Чтобы найти общее число комбинаций, мы используем комбинаторное правило произведения: умножаем число вариантов выбора для $x_1$ на число вариантов выбора для $x_2$. Количество различных уравнений: $2 \times 2 = 4$. Это пары корней: {1, 5}, {1, 6}, {2, 5}, {2, 6}.
Ответ: 4.

б) корень $x_1$ из чисел 1, 2, 3, а корень $x_2$ из чисел 4, 5, 6;

Этот случай аналогичен предыдущему. Для выбора корня $x_1$ есть 3 варианта из множества {1, 2, 3}. Для выбора корня $x_2$ есть 3 варианта из множества {4, 5, 6}. Множества выбора не пересекаются. По правилу произведения, общее число различных пар корней, а следовательно, и различных уравнений, равно: $3 \times 3 = 9$.
Ответ: 9.

в) оба корня из чисел 2, 3, 4, если совпадение корней допустимо;

Оба корня, $x_1$ и $x_2$, выбираются из одного и того же множества {2, 3, 4}. Порядок корней в уравнении не важен (набор {2, 3} дает то же уравнение, что и {3, 2}). Так как корни могут совпадать, мы ищем количество сочетаний с повторениями из 3 элементов по 2. Формула для числа сочетаний с повторениями из $n$ по $k$ выглядит так: $\bar{C}_n^k = \binom{n+k-1}{k}$. В нашей задаче $n=3$ (количество чисел в множестве) и $k=2$ (количество выбираемых корней). $\bar{C}_3^2 = \binom{3+2-1}{2} = \binom{4}{2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$. Можно также перечислить все возможные наборы корней:

• С различными корнями: {2, 3}, {2, 4}, {3, 4} (3 набора).
• С одинаковыми корнями: {2, 2}, {3, 3}, {4, 4} (3 набора).

Всего $3 + 3 = 6$ различных уравнений.
Ответ: 6.

г) оба корня из чисел 2, 3, 4, если корни должны быть различными?

Оба корня выбираются из множества {2, 3, 4}, но с условием, что они должны быть различны ($x_1 \neq x_2$). Порядок корней по-прежнему не важен. Это задача на нахождение числа сочетаний без повторений из 3 элементов по 2. Формула для числа сочетаний без повторений из $n$ по $k$: $C_n^k = \binom{n}{k}$. Здесь $n=3$ и $k=2$. $C_3^2 = \binom{3}{2} = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times 1} = 3$. Возможные наборы различных корней: {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}.
Ответ: 3.