Номер 33.19, страница 188, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 33. Иррациональные уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 33.19, страница 188.

Условие.

33.19 a) $\sqrt{x + 1} = 2 + \sqrt{x - 19}$;

б) $\sqrt{x + 8} = \sqrt{7x + 9} - 1$;

в) $\sqrt{x - 13} = \sqrt{x + 8} - 3$;

г) $\sqrt{3x - 5} = 1 + \sqrt{x - 2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) $\sqrt{x+1} = 2 + \sqrt{x-19}$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком квадратного корня должны быть неотрицательными:
$\begin{cases} x+1 \ge 0 \\ x-19 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge -1 \\ x \ge 19 \end{cases}$
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \ge 19$.

2. Уединим один из корней, перенеся другой в левую часть уравнения:
$\sqrt{x+1} - \sqrt{x-19} = 2$
При $x \ge 19$, левая часть уравнения положительна, так как $\sqrt{x+1} > \sqrt{x-19}$. Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x+1} - \sqrt{x-19})^2 = 2^2$
$(x+1) - 2\sqrt{(x+1)(x-19)} + (x-19) = 4$
$2x - 18 - 2\sqrt{x^2 - 18x - 19} = 4$
Изолируем оставшийся корень:
$2x - 22 = 2\sqrt{x^2 - 18x - 19}$
Разделим обе части на 2:
$x - 11 = \sqrt{x^2 - 18x - 19}$

3. Прежде чем снова возвести в квадрат, убедимся, что левая часть неотрицательна. Для $x \ge 19$ имеем $x-11 \ge 19-11 = 8 > 0$. Следовательно, можно возводить в квадрат:
$(x-11)^2 = (\sqrt{x^2 - 18x - 19})^2$
$x^2 - 22x + 121 = x^2 - 18x - 19$
$-22x + 121 = -18x - 19$
$121 + 19 = -18x + 22x$
$140 = 4x$
$x = 35$

4. Проверим, принадлежит ли найденный корень ОДЗ. $35 \ge 19$, условие выполняется.
Выполним проверку подстановкой в исходное уравнение:
$\sqrt{35+1} = \sqrt{36} = 6$
$2 + \sqrt{35-19} = 2 + \sqrt{16} = 2 + 4 = 6$
$6 = 6$. Решение верно.
Ответ: $35$

б) $\sqrt{x+8} = \sqrt{7x+9} - 1$

1. Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x+8 \ge 0 \\ 7x+9 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge -8 \\ x \ge -9/7 \end{cases}$.
Кроме того, левая часть уравнения неотрицательна (как арифметический корень), значит, и правая часть должна быть неотрицательной:
$\sqrt{7x+9} - 1 \ge 0 \Rightarrow \sqrt{7x+9} \ge 1 \Rightarrow 7x+9 \ge 1 \Rightarrow 7x \ge -8 \Rightarrow x \ge -8/7$.
Объединяя все условия ($x \ge -9/7$ и $x \ge -8/7$), получаем ОДЗ: $x \ge -8/7$.

2. Уединим корень в правой части, перенеся -1 влево:
$\sqrt{x+8} + 1 = \sqrt{7x+9}$
Обе части уравнения неотрицательны, возводим в квадрат:
$(\sqrt{x+8} + 1)^2 = (\sqrt{7x+9})^2$
$(x+8) + 2\sqrt{x+8} + 1 = 7x+9$
$x+9+2\sqrt{x+8} = 7x+9$
$2\sqrt{x+8} = 6x$
$\sqrt{x+8} = 3x$

3. Левая часть неотрицательна, значит $3x \ge 0$, откуда $x \ge 0$. Это более сильное условие, чем ОДЗ. Возводим в квадрат:
$(\sqrt{x+8})^2 = (3x)^2$
$x+8 = 9x^2$
$9x^2 - x - 8 = 0$

4. Решаем квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-8) = 1 + 288 = 289 = 17^2$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 17}{18} = 1$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 17}{18} = -\frac{16}{18} = -\frac{8}{9}$

5. Проверяем корни по условию $x \ge 0$.
$x_1 = 1$ удовлетворяет условию $1 \ge 0$.
$x_2 = -8/9$ не удовлетворяет условию $-8/9 \ge 0$, является посторонним корнем.
Проверка $x=1$ в исходном уравнении:
$\sqrt{1+8} = 3$
$\sqrt{7(1)+9} - 1 = \sqrt{16} - 1 = 4-1 = 3$
$3=3$. Решение верно.
Ответ: $1$

в) $\sqrt{x-13} = \sqrt{x+8} - 3$

1. Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x-13 \ge 0 \\ x+8 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge 13 \\ x \ge -8 \end{cases}$.
Также правая часть должна быть неотрицательной:
$\sqrt{x+8} - 3 \ge 0 \Rightarrow \sqrt{x+8} \ge 3 \Rightarrow x+8 \ge 9 \Rightarrow x \ge 1$.
Общее ОДЗ с учетом всех условий: $x \ge 13$.

2. Перенесем -3 влево и возведем в квадрат:
$\sqrt{x-13} + 3 = \sqrt{x+8}$
$(\sqrt{x-13} + 3)^2 = (\sqrt{x+8})^2$
$(x-13) + 6\sqrt{x-13} + 9 = x+8$
$x-4 + 6\sqrt{x-13} = x+8$
$6\sqrt{x-13} = 12$
$\sqrt{x-13} = 2$

3. Возведем в квадрат еще раз:
$(\sqrt{x-13})^2 = 2^2$
$x-13 = 4$
$x = 17$

4. Проверим корень. $x=17$ удовлетворяет ОДЗ ($17 \ge 13$).
Подставим в исходное уравнение:
$\sqrt{17-13} = \sqrt{4} = 2$
$\sqrt{17+8} - 3 = \sqrt{25} - 3 = 5 - 3 = 2$
$2=2$. Решение верно.
Ответ: $17$

г) $\sqrt{3x-5} = 1 + \sqrt{x-2}$

1. Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} 3x-5 \ge 0 \\ x-2 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge 5/3 \\ x \ge 2 \end{cases}$.
Следовательно, ОДЗ: $x \ge 2$.

2. В области допустимых значений обе части уравнения неотрицательны. Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{3x-5})^2 = (1 + \sqrt{x-2})^2$
$3x-5 = 1 + 2\sqrt{x-2} + (x-2)$
$3x-5 = x-1 + 2\sqrt{x-2}$
$2x-4 = 2\sqrt{x-2}$
$x-2 = \sqrt{x-2}$

3. Мы получили уравнение вида $t = \sqrt{t}$, где $t=x-2$. Такое уравнение можно решить возведением в квадрат или заменой.
Возведем в квадрат (левая часть $x-2$ неотрицательна по ОДЗ):
$(x-2)^2 = x-2$
$(x-2)^2 - (x-2) = 0$
Вынесем общий множитель $(x-2)$:
$(x-2)((x-2)-1) = 0$
$(x-2)(x-3) = 0$
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
$x-2=0 \Rightarrow x=2$
$x-3=0 \Rightarrow x=3$

4. Оба найденных значения $x=2$ и $x=3$ принадлежат ОДЗ ($x \ge 2$).
Проверка для $x=2$:
$\sqrt{3(2)-5} = \sqrt{1} = 1$
$1 + \sqrt{2-2} = 1 + 0 = 1$. Верно.
Проверка для $x=3$:
$\sqrt{3(3)-5} = \sqrt{4} = 2$
$1 + \sqrt{3-2} = 1 + 1 = 2$. Верно.
Оба корня подходят.
Ответ: $2; 3$