Номер 33.13, страница 188, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 33. Иррациональные уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 33.13, страница 188.

Условие.

33.13 а) $(5x - 1) + \sqrt{5x - 1} = 12;$

б) $(2x + 3) + \sqrt{2x + 3} = 2;$

в) $(7x + 4) - \sqrt{7x + 4} = 42;$

г) $(12x - 1) + \sqrt{12x - 1} = 6.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) $(5x - 1) + \sqrt{5x - 1} = 12$

Данное уравнение является иррациональным. Для его решения введем новую переменную. Пусть $y = \sqrt{5x - 1}$. Так как значение квадратного корня не может быть отрицательным, то $y \ge 0$.

Тогда выражение $(5x - 1)$ равно $y^2$. Подставим новую переменную в исходное уравнение:

$y^2 + y = 12$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$y^2 + y - 12 = 0$

Решим это уравнение относительно $y$ с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$

Найдем корни уравнения:

$y_1 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$y_2 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Так как мы установили, что $y \ge 0$, корень $y_2 = -4$ является посторонним. Таким образом, у нас остается только один корень $y = 3$.

Теперь выполним обратную замену:

$\sqrt{5x - 1} = 3$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{5x - 1})^2 = 3^2$

$5x - 1 = 9$

$5x = 10$

$x = 2$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень области допустимых значений. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $5x - 1 \ge 0$, то есть $x \ge \frac{1}{5}$. Корень $x=2$ удовлетворяет этому условию.

Подставим $x=2$ в исходное уравнение для проверки:

$(5 \cdot 2 - 1) + \sqrt{5 \cdot 2 - 1} = (10-1) + \sqrt{9} = 9 + 3 = 12$

$12 = 12$. Равенство верное, значит, корень найден правильно.

Ответ: $2$.

б) $(2x + 3) + \sqrt{2x + 3} = 2$

Введем замену переменной. Пусть $y = \sqrt{2x + 3}$, при этом $y \ge 0$. Тогда $(2x+3) = y^2$.

Подставим в уравнение:

$y^2 + y = 2$

$y^2 + y - 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$

Найдем корни:

$y_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$y_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Учитывая условие $y \ge 0$, корень $y_2 = -2$ не подходит. Остается $y = 1$.

Сделаем обратную замену:

$\sqrt{2x + 3} = 1$

Возведем обе части в квадрат:

$2x + 3 = 1^2$

$2x + 3 = 1$

$2x = -2$

$x = -1$

Проверим область допустимых значений: $2x + 3 \ge 0 \implies 2x \ge -3 \implies x \ge -1.5$. Корень $x=-1$ удовлетворяет этому условию.

Проверка подстановкой в исходное уравнение:

$(2(-1) + 3) + \sqrt{2(-1) + 3} = (-2+3) + \sqrt{1} = 1+1=2$

$2=2$. Равенство верное.

Ответ: $-1$.

в) $(7x + 4) - \sqrt{7x + 4} = 42$

Сделаем замену. Пусть $y = \sqrt{7x + 4}$, где $y \ge 0$. Тогда $(7x + 4) = y^2$.

Уравнение принимает вид:

$y^2 - y = 42$

$y^2 - y - 42 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-42) = 1 + 168 = 169$

Найдем корни:

$y_1 = \frac{1 + \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 13}{2} = \frac{14}{2} = 7$

$y_2 = \frac{1 - \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 13}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

Так как $y \ge 0$, корень $y_2 = -6$ является посторонним. Используем $y = 7$.

Выполним обратную замену:

$\sqrt{7x + 4} = 7$

Возведем обе части в квадрат:

$7x + 4 = 7^2$

$7x + 4 = 49$

$7x = 45$

$x = \frac{45}{7}$

Проверим область допустимых значений: $7x + 4 \ge 0 \implies 7x \ge -4 \implies x \ge -\frac{4}{7}$. Найденный корень $x = \frac{45}{7}$ удовлетворяет условию.

Проверка подстановкой:

$(7(\frac{45}{7}) + 4) - \sqrt{7(\frac{45}{7}) + 4} = (45 + 4) - \sqrt{49} = 49 - 7 = 42$

$42 = 42$. Равенство верное.

Ответ: $\frac{45}{7}$.

г) $(12x - 1) + \sqrt{12x - 1} = 6$

Введем замену переменной. Пусть $y = \sqrt{12x - 1}$, при этом $y \ge 0$. Тогда $(12x - 1) = y^2$.

Подставляем в уравнение:

$y^2 + y = 6$

$y^2 + y - 6 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$

Найдем корни:

$y_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$y_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Учитывая условие $y \ge 0$, корень $y_2 = -3$ не подходит. Остается $y = 2$.

Сделаем обратную замену:

$\sqrt{12x - 1} = 2$

Возведем обе части в квадрат:

$12x - 1 = 2^2$

$12x - 1 = 4$

$12x = 5$

$x = \frac{5}{12}$

Проверим область допустимых значений: $12x - 1 \ge 0 \implies 12x \ge 1 \implies x \ge \frac{1}{12}$. Корень $x = \frac{5}{12}$ удовлетворяет этому условию.

Проверка подстановкой в исходное уравнение:

$(12(\frac{5}{12}) - 1) + \sqrt{12(\frac{5}{12}) - 1} = (5-1) + \sqrt{4} = 4+2=6$

$6=6$. Равенство верное.

Ответ: $\frac{5}{12}$.