Номер 33.9, страница 187, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 33. Иррациональные уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 33.9, страница 187.

Условие.

33.9 a) $ \sqrt{x - 4} + x = 6; $

б) $ 5x - \sqrt{3x + 4} = 2; $

в) $ \sqrt{5x + 1} + 1 = 2x; $

г) $ \sqrt{7 - 3x} + 3 - x = 0. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) $\sqrt{x-4} + x = 6$

Для решения данного иррационального уравнения необходимо выполнить следующие шаги:
1. Уединим радикал (квадратный корень) в одной части уравнения. Для этого перенесем $x$ в правую часть:
$\sqrt{x-4} = 6 - x$
2. Определим Область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным ($x-4 \ge 0$), и правая часть уравнения также должна быть неотрицательной, так как она равна значению арифметического квадратного корня ($6-x \ge 0$).
Получаем систему неравенств:
$\begin{cases} x - 4 \ge 0 \\ 6 - x \ge 0 \end{cases}$
Решая ее, находим:
$\begin{cases} x \ge 4 \\ x \le 6 \end{cases}$
Следовательно, ОДЗ для $x$ есть промежуток $[4; 6]$.
3. Возведем обе части уравнения $\sqrt{x-4} = 6 - x$ в квадрат, чтобы избавиться от радикала:
$(\sqrt{x-4})^2 = (6-x)^2$
$x - 4 = 36 - 12x + x^2$
4. Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:
$x^2 - 12x - x + 36 + 4 = 0$
$x^2 - 13x + 40 = 0$
5. Решим полученное квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета: сумма корней равна 13, а их произведение равно 40. Корнями являются числа 5 и 8.
$x_1 = 5$, $x_2 = 8$.
6. Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ, то есть промежутку $[4; 6]$.
- Корень $x_1 = 5$ принадлежит ОДЗ, так как $4 \le 5 \le 6$.
- Корень $x_2 = 8$ не принадлежит ОДЗ, так как $8 > 6$. Этот корень является посторонним.
Для уверенности выполним проверку подстановкой корня $x=5$ в исходное уравнение:
$\sqrt{5-4} + 5 = \sqrt{1} + 5 = 1+5=6$.
$6 = 6$. Равенство верно.
Ответ: $5$.

б) $5x - \sqrt{3x+4} = 2$

1. Уединим радикал в одной части уравнения:
$5x - 2 = \sqrt{3x+4}$
2. Определим ОДЗ. Подкоренное выражение и выражение, которому равен корень, должны быть неотрицательными:
$\begin{cases} 3x+4 \ge 0 \\ 5x - 2 \ge 0 \end{cases}$
$\begin{cases} 3x \ge -4 \\ 5x \ge 2 \end{cases}$
$\begin{cases} x \ge -4/3 \\ x \ge 2/5 \end{cases}$
Общим решением системы является $x \ge 2/5$. Таким образом, ОДЗ: $x \in [2/5; +\infty)$.
3. Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(5x-2)^2 = (\sqrt{3x+4})^2$
$25x^2 - 20x + 4 = 3x + 4$
4. Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:
$25x^2 - 20x - 3x + 4 - 4 = 0$
$25x^2 - 23x = 0$
5. Решим полученное неполное квадратное уравнение, вынеся общий множитель $x$ за скобки:
$x(25x - 23) = 0$
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
$x_1 = 0$ или $25x - 23 = 0 \implies x_2 = 23/25$.
6. Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 2/5$). Отметим, что $2/5 = 0.4$, а $23/25 = 0.92$.
- $x_1 = 0$ не удовлетворяет условию $x \ge 0.4$, следовательно, это посторонний корень.
- $x_2 = 23/25$ удовлетворяет условию $x \ge 0.4$.
Проверка подстановкой $x=23/25$ в исходное уравнение: $5(\frac{23}{25}) - \sqrt{3(\frac{23}{25})+4} = \frac{23}{5} - \sqrt{\frac{69+100}{25}} = \frac{23}{5} - \sqrt{\frac{169}{25}} = \frac{23}{5} - \frac{13}{5} = \frac{10}{5} = 2$.
$2=2$. Равенство верно.
Ответ: $23/25$.

в) $\sqrt{5x+1} + 1 = 2x$

1. Уединим радикал:
$\sqrt{5x+1} = 2x - 1$
2. Определим ОДЗ:
$\begin{cases} 5x+1 \ge 0 \\ 2x - 1 \ge 0 \end{cases}$
$\begin{cases} 5x \ge -1 \\ 2x \ge 1 \end{cases}$
$\begin{cases} x \ge -1/5 \\ x \ge 1/2 \end{cases}$
ОДЗ: $x \ge 1/2$, то есть $x \in [1/2; +\infty)$.
3. Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{5x+1})^2 = (2x-1)^2$
$5x+1 = 4x^2 - 4x + 1$
4. Приведем уравнение к стандартному виду:
$4x^2 - 4x - 5x + 1 - 1 = 0$
$4x^2 - 9x = 0$
5. Решим неполное квадратное уравнение:
$x(4x - 9) = 0$
$x_1 = 0$ или $4x - 9 = 0 \implies x_2 = 9/4$.
6. Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 1/2$).
- $x_1 = 0$ не принадлежит ОДЗ ($0 < 1/2$), это посторонний корень.
- $x_2 = 9/4$ принадлежит ОДЗ ($9/4 = 2.25 \ge 0.5$).
Проверка подстановкой $x=9/4$ в исходное уравнение:
Левая часть: $\sqrt{5(\frac{9}{4})+1} + 1 = \sqrt{\frac{45}{4}+\frac{4}{4}} + 1 = \sqrt{\frac{49}{4}} + 1 = \frac{7}{2} + 1 = \frac{9}{2}$.
Правая часть: $2x = 2(\frac{9}{4}) = \frac{9}{2}$.
Левая часть равна правой. Равенство верно.
Ответ: $9/4$.

г) $\sqrt{7-3x} + 3 - x = 0$

1. Уединим радикал:
$\sqrt{7-3x} = x - 3$
2. Определим ОДЗ:
$\begin{cases} 7-3x \ge 0 \\ x - 3 \ge 0 \end{cases}$
$\begin{cases} -3x \ge -7 \\ x \ge 3 \end{cases}$
$\begin{cases} x \le 7/3 \\ x \ge 3 \end{cases}$
Поскольку $7/3 \approx 2.33$, система неравенств $x \ge 3$ и $x \le 7/3$ не имеет решений. Это означает, что область допустимых значений пуста, и уравнение не имеет действительных корней.
Для полноты решения, продолжим алгебраические преобразования, чтобы показать, что получаемые корни являются посторонними.
3. Возведем в квадрат обе части уравнения $\sqrt{7-3x} = x-3$ :
$(\sqrt{7-3x})^2 = (x-3)^2$
$7 - 3x = x^2 - 6x + 9$
4. Приведем к стандартному виду:
$x^2 - 6x + 3x + 9 - 7 = 0$
$x^2 - 3x + 2 = 0$
5. По теореме Виета, $x_1+x_2=3$ и $x_1 \cdot x_2=2$. Корни: $x_1=1, x_2=2$.
6. Как было установлено на шаге 2, ОДЗ пусто. Ни один из найденных "кандидатов в корни" не может являться решением. В частности, оба корня не удовлетворяют условию $x \ge 3$.
Проверим их подстановкой в уравнение $\sqrt{7-3x} = x - 3$:
- для $x=1$: $\sqrt{7-3(1)} = \sqrt{4} = 2$. Правая часть: $1-3 = -2$. $2 \neq -2$.
- для $x=2$: $\sqrt{7-3(2)} = \sqrt{1} = 1$. Правая часть: $2-3 = -1$. $1 \neq -1$.
Оба корня являются посторонними.
Ответ: корней нет.