Номер 33.16, страница 188, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 33. Иррациональные уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 33.16, страница 188.

Условие.

Решите уравнение:

33.16 а) $\sqrt{4x + 3} = \sqrt{4x^2 + 5x - 2};$

б) $\sqrt{6x^2 - 2x + 1} = \sqrt{3x + 2};$

в) $\sqrt{2x^2 + 3x - 1} = \sqrt{5x - 1};$

г) $\sqrt{8x - 3} = \sqrt{x^2 + 4x + 1}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) Дано уравнение $\sqrt{4x+3} = \sqrt{4x^2+5x-2}$.
Уравнение вида $\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}$ равносильно системе, в которой выражения под корнями равны, и одно из них (более простое) неотрицательно.$4x+3 = 4x^2+5x-2$ при условии $4x+3 \ge 0$.
Сначала решим уравнение. Перенесем все члены в одну сторону:$4x^2 + 5x - 4x - 2 - 3 = 0$
$4x^2 + x - 5 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 1 + 80 = 81$.
Найдем корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 4} = \frac{-1 \pm 9}{8}$.
$x_1 = \frac{-1 - 9}{8} = \frac{-10}{8} = -\frac{5}{4}$
$x_2 = \frac{-1 + 9}{8} = \frac{8}{8} = 1$
Теперь проверим найденные корни по условию $4x+3 \ge 0$, или $x \ge -\frac{3}{4}$.
Для $x_1 = -\frac{5}{4} = -1.25$: $-1.25 < -\frac{3}{4}$, следовательно, это посторонний корень.
Для $x_2 = 1$: $1 > -\frac{3}{4}$, следовательно, это решение.
Ответ: $1$

б) Дано уравнение $\sqrt{6x^2-2x+1} = \sqrt{3x+2}$.
Возводим обе части в квадрат при условии $3x+2 \ge 0$.$6x^2-2x+1 = 3x+2$
Перенесем все члены в одну сторону:$6x^2 - 2x - 3x + 1 - 2 = 0$
$6x^2 - 5x - 1 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 25 + 24 = 49$.
Найдем корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{5 \pm 7}{12}$.
$x_1 = \frac{5 - 7}{12} = \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6}$
$x_2 = \frac{5 + 7}{12} = \frac{12}{12} = 1$
Проверим найденные корни по условию $3x+2 \ge 0$, или $x \ge -\frac{2}{3}$.
Для $x_1 = -\frac{1}{6}$: $-\frac{1}{6} \ge -\frac{2}{3}$ (т.к. $-\frac{1}{6} \ge -\frac{4}{6}$), корень подходит.
Для $x_2 = 1$: $1 > -\frac{2}{3}$, корень подходит.
Ответ: $-\frac{1}{6}; 1$

в) Дано уравнение $\sqrt{2x^2+3x-1} = \sqrt{5x-1}$.
Возводим обе части в квадрат при условии $5x-1 \ge 0$.$2x^2+3x-1 = 5x-1$
Перенесем все члены в одну сторону:$2x^2 + 3x - 5x - 1 + 1 = 0$
$2x^2 - 2x = 0$
Вынесем общий множитель за скобки:$2x(x-1) = 0$
Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.
Проверим найденные корни по условию $5x-1 \ge 0$, или $x \ge \frac{1}{5}$.
Для $x_1 = 0$: $0 < \frac{1}{5}$, следовательно, это посторонний корень.
Для $x_2 = 1$: $1 > \frac{1}{5}$, следовательно, это решение.
Ответ: $1$

г) Дано уравнение $\sqrt{8x-3} = \sqrt{x^2+4x+1}$.
Возводим обе части в квадрат при условии $8x-3 \ge 0$.$8x-3 = x^2+4x+1$
Перенесем все члены в одну сторону:$x^2 + 4x - 8x + 1 + 3 = 0$
$x^2 - 4x + 4 = 0$
Это уравнение является полным квадратом:$(x-2)^2 = 0$
Отсюда получаем единственный корень: $x = 2$.
Проверим найденный корень по условию $8x-3 \ge 0$, или $x \ge \frac{3}{8}$.
Для $x = 2$: $2 > \frac{3}{8}$, следовательно, это решение.
Ответ: $2$