Номер 33.11, страница 187, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 33. Иррациональные уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 33.11, страница 187.

Условие.

33.11 a) $x + \sqrt{x} = 30;$

б) $x - 4\sqrt{x} - 12 = 0;$

в) $x + \sqrt{x} = 12;$

г) $x - 3\sqrt{x} - 18 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) $x + \sqrt{x} = 30$
Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения определяется условием $x \ge 0$, так как подкоренное выражение не может быть отрицательным.
Это уравнение решается методом введения новой переменной. Пусть $y = \sqrt{x}$. Тогда $x = (\sqrt{x})^2 = y^2$. Так как арифметический квадратный корень является неотрицательной величиной, то должно выполняться условие $y \ge 0$.
Подставим новую переменную в исходное уравнение:
$y^2 + y = 30$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$y^2 + y - 30 = 0$
Решим это уравнение относительно $y$. Воспользуемся теоремой Виета:
Сумма корней: $y_1 + y_2 = -1$
Произведение корней: $y_1 \cdot y_2 = -30$
Подбором находим корни: $y_1 = 5$ и $y_2 = -6$.
Теперь необходимо проверить найденные корни на соответствие условию $y \ge 0$.
Корень $y_1 = 5$ удовлетворяет условию ($5 \ge 0$).
Корень $y_2 = -6$ не удовлетворяет условию ($-6 < 0$), поэтому он является посторонним.
Следовательно, у нас есть одно подходящее значение для $y$: $y=5$.
Сделаем обратную замену:
$\sqrt{x} = 5$
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$x = 5^2 = 25$
Проверим найденный корень. $x=25$ удовлетворяет ОДЗ ($25 \ge 0$). Подставим его в исходное уравнение: $25 + \sqrt{25} = 25 + 5 = 30$. Равенство верно.
Ответ: $25$

б) $x - 4\sqrt{x} - 12 = 0$
ОДЗ: $x \ge 0$.
Сделаем замену переменной. Пусть $y = \sqrt{x}$, где $y \ge 0$. Тогда $x = y^2$.
Уравнение принимает вид:
$y^2 - 4y - 12 = 0$
Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета:
$y_1 + y_2 = 4$
$y_1 \cdot y_2 = -12$
Корни: $y_1 = 6$ и $y_2 = -2$.
Учитывая условие $y \ge 0$, корень $y_2 = -2$ является посторонним.
Остается $y_1 = 6$.
Выполним обратную замену:
$\sqrt{x} = 6$
$x = 6^2 = 36$
Проверка: $x=36$ удовлетворяет ОДЗ ($36 \ge 0$). Подставим в исходное уравнение: $36 - 4\sqrt{36} - 12 = 36 - 4 \cdot 6 - 12 = 36 - 24 - 12 = 0$. Равенство верно.
Ответ: $36$

в) $x + \sqrt{x} = 12$
ОДЗ: $x \ge 0$.
Сделаем замену переменной. Пусть $y = \sqrt{x}$, где $y \ge 0$. Тогда $x = y^2$.
Уравнение принимает вид:
$y^2 + y = 12$
$y^2 + y - 12 = 0$
Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета:
$y_1 + y_2 = -1$
$y_1 \cdot y_2 = -12$
Корни: $y_1 = 3$ и $y_2 = -4$.
Учитывая условие $y \ge 0$, корень $y_2 = -4$ является посторонним.
Остается $y_1 = 3$.
Выполним обратную замену:
$\sqrt{x} = 3$
$x = 3^2 = 9$
Проверка: $x=9$ удовлетворяет ОДЗ ($9 \ge 0$). Подставим в исходное уравнение: $9 + \sqrt{9} = 9 + 3 = 12$. Равенство верно.
Ответ: $9$

г) $x - 3\sqrt{x} - 18 = 0$
ОДЗ: $x \ge 0$.
Сделаем замену переменной. Пусть $y = \sqrt{x}$, где $y \ge 0$. Тогда $x = y^2$.
Уравнение принимает вид:
$y^2 - 3y - 18 = 0$
Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета:
$y_1 + y_2 = 3$
$y_1 \cdot y_2 = -18$
Корни: $y_1 = 6$ и $y_2 = -3$.
Учитывая условие $y \ge 0$, корень $y_2 = -3$ является посторонним.
Остается $y_1 = 6$.
Выполним обратную замену:
$\sqrt{x} = 6$
$x = 6^2 = 36$
Проверка: $x=36$ удовлетворяет ОДЗ ($36 \ge 0$). Подставим в исходное уравнение: $36 - 3\sqrt{36} - 18 = 36 - 3 \cdot 6 - 18 = 36 - 18 - 18 = 0$. Равенство верно.
Ответ: $36$