Номер 33.15, страница 188, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 33. Иррациональные уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 33.15, страница 188.

Условие.

33.15 а) $\sqrt{x+1} = 3$ и $x^2 - 7x - 8 = 0;$

б) $\sqrt{x} = x - 2$ и $x^2 = 5x - 4;$

в) $\sqrt{7-x} = -2$ и $x^2 + 4x + 8 = 0;$

г) $\sqrt{4x+1} = x - 1$ и $x^2 - 12x + 36 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) Два уравнения называются равносильными, если множества их решений совпадают. Сравним уравнения $\sqrt{x+1} = 3$ и $x^2 - 7x - 8 = 0$.
1. Решим первое уравнение: $\sqrt{x+1} = 3$.
Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется условием $x + 1 \ge 0$, то есть $x \ge -1$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:$(\sqrt{x+1})^2 = 3^2$
$x + 1 = 9$
$x = 8$
Полученный корень $x=8$ удовлетворяет ОДЗ ($8 \ge -1$). Следовательно, множество решений первого уравнения: $\{8\}$.
2. Решим второе уравнение: $x^2 - 7x - 8 = 0$.
Это квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = -(-7)/1 = 7$, а произведение корней $x_1 \cdot x_2 = -8/1 = -8$.
Подбором находим корни: $x_1 = 8$ и $x_2 = -1$.
Множество решений второго уравнения: $\{-1, 8\}$.
3. Сравним множества решений: $\{8\} \neq \{-1, 8\}$.
Так как множества решений не совпадают, данные уравнения не являются равносильными.
Ответ: уравнения не равносильны.

б) Сравним уравнения $\sqrt{x} = x - 2$ и $x^2 = 5x - 4$.
1. Решим первое уравнение: $\sqrt{x} = x - 2$.
ОДЗ: $x \ge 0$. Кроме того, значение арифметического квадратного корня не может быть отрицательным, поэтому должно выполняться условие $x - 2 \ge 0$, то есть $x \ge 2$.
Возведем обе части уравнения в квадрат при условии $x \ge 2$:
$(\sqrt{x})^2 = (x - 2)^2$
$x = x^2 - 4x + 4$
$x^2 - 5x + 4 = 0$
По теореме Виета, $x_1 + x_2 = 5$ и $x_1 \cdot x_2 = 4$. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.
Проверим найденные корни на соответствие условию $x \ge 2$:
$x_1 = 1$ не удовлетворяет условию ($1 < 2$), следовательно, это посторонний корень.
$x_2 = 4$ удовлетворяет условию ($4 \ge 2$).
Множество решений первого уравнения: $\{4\}$.
2. Решим второе уравнение: $x^2 = 5x - 4$.
Перенесем все члены в левую часть: $x^2 - 5x + 4 = 0$.
Корни этого уравнения, как мы уже нашли выше, $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.
Множество решений второго уравнения: $\{1, 4\}$.
3. Сравним множества решений: $\{4\} \neq \{1, 4\}$.
Уравнения не являются равносильными.
Ответ: уравнения не равносильны.

в) Сравним уравнения $\sqrt{7-x} = -2$ и $x^2 + 4x + 8 = 0$.
1. Решим первое уравнение: $\sqrt{7-x} = -2$.
По определению, арифметический квадратный корень ($\sqrt{a}$) является неотрицательным числом. Левая часть уравнения $\sqrt{7-x} \ge 0$, а правая часть равна -2. Равенство неотрицательного числа и отрицательного невозможно. Следовательно, данное уравнение не имеет действительных решений. Множество его решений пусто: $\emptyset$.
2. Решим второе уравнение: $x^2 + 4x + 8 = 0$.
Найдем дискриминант $D$ данного квадратного уравнения по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 16 - 32 = -16$.
Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней. Множество его решений также пусто: $\emptyset$.
3. Сравним множества решений: $\emptyset = \emptyset$.
Поскольку множества решений обоих уравнений совпадают (оба пусты), уравнения являются равносильными.
Ответ: уравнения равносильны.

г) Сравним уравнения $\sqrt{4x+1} = x - 1$ и $x^2 - 12x + 36 = 0$.
1. Решим первое уравнение: $\sqrt{4x+1} = x - 1$.
ОДЗ: $4x+1 \ge 0 \implies x \ge -1/4$. Также правая часть должна быть неотрицательной: $x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$. Общее условие: $x \ge 1$.
Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{4x+1})^2 = (x - 1)^2$
$4x + 1 = x^2 - 2x + 1$
$x^2 - 6x = 0$
$x(x - 6) = 0$
Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 6$.
Проверим корни на соответствие условию $x \ge 1$:
$x_1 = 0$ не удовлетворяет условию ($0 < 1$), это посторонний корень.
$x_2 = 6$ удовлетворяет условию ($6 \ge 1$).
Множество решений первого уравнения: $\{6\}$.
2. Решим второе уравнение: $x^2 - 12x + 36 = 0$.
Левая часть уравнения является полным квадратом разности:
$(x - 6)^2 = 0$
$x - 6 = 0$
$x = 6$
Множество решений второго уравнения: $\{6\}$.
3. Сравним множества решений: $\{6\} = \{6\}$.
Множества решений совпадают, следовательно, уравнения являются равносильными.
Ответ: уравнения равносильны.