Номер 33.8, страница 187, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 33. Иррациональные уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 33.8, страница 187.

Условие.

33.8 a) $ \sqrt{8-2x} = x; $

б) $ \sqrt{5-x} = x+15; $

в) $ \sqrt{3+2x} = x-6; $

г) $ \sqrt{1-5x} = 7+x. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) $\sqrt{8 - 2x} = x$

Данное уравнение является иррациональным. Для его решения необходимо возвести обе части в квадрат. Но перед этим найдем область допустимых значений (ОДЗ) или учтем условия, при которых такое преобразование является равносильным.

1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $8 - 2x \geq 0 \implies 2x \leq 8 \implies x \leq 4$.

2. Правая часть уравнения, равная арифметическому квадратному корню, также должна быть неотрицательной: $x \geq 0$.

Объединяя эти условия, получаем ОДЗ: $0 \leq x \leq 4$.

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{8 - 2x})^2 = x^2$

$8 - 2x = x^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 + 2x - 8 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно $-8$, а их сумма равна $-2$. Подбором находим корни:

$x_1 = 2$

$x_2 = -4$

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ ($0 \leq x \leq 4$).

Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условию $0 \leq 2 \leq 4$, следовательно, является решением исходного уравнения.

Корень $x_2 = -4$ не удовлетворяет условию $x \geq 0$, следовательно, является посторонним корнем.

Ответ: $2$

б) $\sqrt{5 - x} = x + 15$

Найдем ОДЗ. Для этого должны выполняться два условия:

1. $5 - x \geq 0 \implies x \leq 5$

2. $x + 15 \geq 0 \implies x \geq -15$

Общая область допустимых значений: $-15 \leq x \leq 5$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{5 - x})^2 = (x + 15)^2$

$5 - x = x^2 + 30x + 225$

Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:

$x^2 + 30x + x + 225 - 5 = 0$

$x^2 + 31x + 220 = 0$

Решим уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 31^2 - 4 \cdot 1 \cdot 220 = 961 - 880 = 81 = 9^2$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-31 \pm 9}{2}$

$x_1 = \frac{-31 + 9}{2} = \frac{-22}{2} = -11$

$x_2 = \frac{-31 - 9}{2} = \frac{-40}{2} = -20$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($-15 \leq x \leq 5$).

Корень $x_1 = -11$ удовлетворяет условию $-15 \leq -11 \leq 5$, значит, это верное решение.

Корень $x_2 = -20$ не удовлетворяет условию $x \geq -15$, значит, это посторонний корень.

Ответ: $-11$

в) $\sqrt{3 + 2x} = x - 6$

Определим область допустимых значений:

1. $3 + 2x \geq 0 \implies 2x \geq -3 \implies x \geq -1.5$

2. $x - 6 \geq 0 \implies x \geq 6$

Пересечение этих условий дает ОДЗ: $x \geq 6$.

Возводим обе части в квадрат:

$(\sqrt{3 + 2x})^2 = (x - 6)^2$

$3 + 2x = x^2 - 12x + 36$

Собираем все члены в одной части:

$x^2 - 12x - 2x + 36 - 3 = 0$

$x^2 - 14x + 33 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна $14$, а произведение $33$. Корни легко находятся:

$x_1 = 3$

$x_2 = 11$

Проверяем корни по ОДЗ ($x \geq 6$).

Корень $x_1 = 3$ не удовлетворяет условию $x \geq 6$, поэтому является посторонним.

Корень $x_2 = 11$ удовлетворяет условию $11 \geq 6$, поэтому является решением уравнения.

Ответ: $11$

г) $\sqrt{1 - 5x} = 7 + x$

Найдем ОДЗ:

1. $1 - 5x \geq 0 \implies 1 \geq 5x \implies x \leq \frac{1}{5}$ (или $x \leq 0.2$)

2. $7 + x \geq 0 \implies x \geq -7$

Таким образом, ОДЗ: $-7 \leq x \leq 0.2$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{1 - 5x})^2 = (7 + x)^2$

$1 - 5x = 49 + 14x + x^2$

Приведем уравнение к стандартному виду:

$x^2 + 14x + 5x + 49 - 1 = 0$

$x^2 + 19x + 48 = 0$

Используем теорему Виета: сумма корней равна $-19$, произведение равно $48$. Подбором находим корни:

$x_1 = -3$

$x_2 = -16$

Проверим корни на принадлежность ОДЗ ($-7 \leq x \leq 0.2$).

Корень $x_1 = -3$ удовлетворяет условию $-7 \leq -3 \leq 0.2$, следовательно, это верное решение.

Корень $x_2 = -16$ не удовлетворяет условию $x \geq -7$, так как $-16 < -7$. Это посторонний корень.

Ответ: $-3$