Номер 33.5, страница 187, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 33. Иррациональные уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 33.5, страница 187.

Условие.

33.5 Докажите, что уравнение не имеет корней:

а) $\sqrt{5 - x} + 2 = 0;$

б) $\sqrt{x - 4} + \sqrt{x^2 - 3} = 0;$

в) $\sqrt{3x - 1} + 1 = 0;$

г) $\sqrt{x - 8} + 3 = \sqrt{16 - x}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

a)

Рассмотрим уравнение $\sqrt{5 - x} + 2 = 0$.
Перенесем 2 в правую часть уравнения: $\sqrt{5 - x} = -2$.
По определению, арифметический квадратный корень из любого действительного числа является неотрицательной величиной. То есть, для любого допустимого значения $x$, левая часть уравнения $\sqrt{5 - x} \ge 0$.
Правая часть уравнения равна -2, что является отрицательным числом. Равенство между неотрицательной величиной (левая часть) и отрицательной величиной (правая часть) невозможно.
Следовательно, данное уравнение не имеет корней.
Ответ: Уравнение не имеет корней, так как значение арифметического квадратного корня не может быть отрицательным числом.

б)

Рассмотрим уравнение $\sqrt{x - 4} + \sqrt{x^2 - 3} = 0$.
Данное уравнение представляет собой сумму двух слагаемых, каждое из которых является арифметическим квадратным корнем. Как известно, значения арифметических квадратных корней неотрицательны: $\sqrt{x - 4} \ge 0$ и $\sqrt{x^2 - 3} \ge 0$.
Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из этих чисел равно нулю. Таким образом, исходное уравнение равносильно системе уравнений: $$ \begin{cases} \sqrt{x - 4} = 0 \\ \sqrt{x^2 - 3} = 0 \end{cases} $$ Решим каждое уравнение системы:
1) $\sqrt{x - 4} = 0 \implies x - 4 = 0 \implies x = 4$.
2) $\sqrt{x^2 - 3} = 0 \implies x^2 - 3 = 0 \implies x^2 = 3 \implies x = \sqrt{3}$ или $x = -\sqrt{3}$.
Для того чтобы система имела решение, необходимо, чтобы нашлось такое значение $x$, которое удовлетворяло бы обоим уравнениям одновременно. Однако, решения первого уравнения ($x=4$) не совпадают с решениями второго уравнения ($x = \pm\sqrt{3}$).
Следовательно, система не имеет решений, а значит и исходное уравнение не имеет корней.
Ответ: Уравнение не имеет корней, так как не существует значения $x$, при котором оба подкоренных выражения одновременно равнялись бы нулю.

в)

Рассмотрим уравнение $\sqrt{3x - 1} + 1 = 0$.
Перенесем 1 в правую часть уравнения: $\sqrt{3x - 1} = -1$.
Левая часть уравнения представляет собой арифметический квадратный корень, значение которого по определению не может быть отрицательным: $\sqrt{3x - 1} \ge 0$.
Правая часть уравнения равна -1. Так как неотрицательное число не может быть равно отрицательному, данное уравнение не имеет решений.
Ответ: Уравнение не имеет корней, так как значение арифметического квадратного корня не может быть отрицательным.

г)

Рассмотрим уравнение $\sqrt{x - 8} + 3 = \sqrt{16 - x}$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Для этого подкоренные выражения должны быть неотрицательными: $$ \begin{cases} x - 8 \ge 0 \\ 16 - x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 8 \\ x \le 16 \end{cases} $$ Таким образом, ОДЗ: $x \in [8, 16]$.
Теперь оценим значения левой и правой частей уравнения на этой области.
Левая часть: $L(x) = \sqrt{x - 8} + 3$. На ОДЗ выражение $\sqrt{x - 8}$ является неотрицательным ($\sqrt{x - 8} \ge 0$). Следовательно, $L(x) = \sqrt{x - 8} + 3 \ge 0 + 3 = 3$. Итак, левая часть уравнения всегда больше или равна 3.
Правая часть: $R(x) = \sqrt{16 - x}$. На ОДЗ $x \in [8, 16]$, значение подкоренного выражения $16 - x$ изменяется от $16-8=8$ до $16-16=0$. Следовательно, значение правой части $\sqrt{16 - x}$ изменяется от $\sqrt{8}$ до $\sqrt{0}=0$. Максимальное значение правой части на ОДЗ равно $\sqrt{8}$.
Сравним возможные значения левой и правой частей. Левая часть: $L(x) \ge 3$. Правая часть: $R(x) \le \sqrt{8}$.
Так как $9 > 8$, то $\sqrt{9} > \sqrt{8}$, что означает $3 > \sqrt{8}$.
Получается, что для любого допустимого значения $x$ левая часть уравнения ($L(x) \ge 3$) всегда строго больше правой части ($R(x) \le \sqrt{8} < 3$).
Поскольку левая часть всегда больше правой, равенство между ними невозможно.
Ответ: Уравнение не имеет корней, так как на всей области допустимых значений левая часть уравнения строго больше правой.