Номер 33.2, страница 186, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 33. Иррациональные уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 33.2, страница 186.

Условие.

33.2 а) $\sqrt{x^2 - 1} = 2;$

б) $\sqrt{4x^2 + 5} = 3;$

в) $\sqrt{3 - 2x^2} = 1;$

г) $\sqrt{6 + 5x^2} = 2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) $\sqrt{x^2 - 1} = 2$

Для решения данного иррационального уравнения необходимо сначала определить область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x^2 - 1 \ge 0$ $x^2 \ge 1$ Это неравенство выполняется, когда $x \le -1$ или $x \ge 1$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от знака корня. Так как правая часть уравнения (число 2) является положительной, это преобразование не приведет к появлению посторонних корней на ОДЗ. $(\sqrt{x^2 - 1})^2 = 2^2$ $x^2 - 1 = 4$

Перенесем -1 в правую часть уравнения, изменив знак: $x^2 = 4 + 1$ $x^2 = 5$

Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения, чтобы найти $x$: $x_1 = \sqrt{5}$ $x_2 = -\sqrt{5}$

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ. Так как $\sqrt{5} \approx 2.24$, то $\sqrt{5} \ge 1$, следовательно, корень $x_1 = \sqrt{5}$ подходит. Так как $-\sqrt{5} \approx -2.24$, то $-\sqrt{5} \le -1$, следовательно, корень $x_2 = -\sqrt{5}$ также подходит.

Ответ: $x = \pm\sqrt{5}$.

б) $\sqrt{4x^2 + 5} = 3$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $4x^2 + 5 \ge 0$ Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $4x^2 \ge 0$. Значит, выражение $4x^2 + 5$ всегда будет больше или равно 5, то есть положительным. Следовательно, ОДЗ: $x$ — любое действительное число, $x \in (-\infty, \infty)$.

Возведем обе части уравнения в квадрат: $(\sqrt{4x^2 + 5})^2 = 3^2$ $4x^2 + 5 = 9$

Решим полученное неполное квадратное уравнение: $4x^2 = 9 - 5$ $4x^2 = 4$ $x^2 = \frac{4}{4}$ $x^2 = 1$

Находим значения $x$: $x_1 = 1$ $x_2 = -1$

Оба корня действительные, поэтому они входят в ОДЗ.

Ответ: $x = \pm 1$.

в) $\sqrt{3 - 2x^2} = 1$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $3 - 2x^2 \ge 0$ $3 \ge 2x^2$ $x^2 \le \frac{3}{2}$ Это неравенство выполняется при $-\sqrt{\frac{3}{2}} \le x \le \sqrt{\frac{3}{2}}$. ОДЗ: $x \in [-\sqrt{1.5}, \sqrt{1.5}]$.

Возведем обе части уравнения в квадрат: $(\sqrt{3 - 2x^2})^2 = 1^2$ $3 - 2x^2 = 1$

Решим полученное уравнение: $3 - 1 = 2x^2$ $2 = 2x^2$ $x^2 = 1$

Находим значения $x$: $x_1 = 1$ $x_2 = -1$

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ. Так как $\sqrt{1.5} \approx 1.22$, то интервал ОДЗ примерно равен $[-1.22, 1.22]$. Оба корня, 1 и -1, принадлежат этому интервалу, следовательно, оба являются решениями.

Ответ: $x = \pm 1$.

г) $\sqrt{6 + 5x^2} = 2$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $6 + 5x^2 \ge 0$ Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $5x^2 \ge 0$. Значит, выражение $6 + 5x^2$ всегда будет больше или равно 6, то есть положительным. ОДЗ: $x$ — любое действительное число, $x \in (-\infty, \infty)$.

Возведем обе части уравнения в квадрат: $(\sqrt{6 + 5x^2})^2 = 2^2$ $6 + 5x^2 = 4$

Решим полученное уравнение: $5x^2 = 4 - 6$ $5x^2 = -2$ $x^2 = -\frac{2}{5}$

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным числом. Следовательно, данное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет корней.