Номер 32.50, страница 185, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 32. Теорема Виета и её применение. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 32.50, страница 185.

Условие.

32.50 Докажите тождество:

а) $(\frac{2x}{x+2} + \frac{4}{x^2+5x+6} - \frac{3}{x+3}) : \frac{2x-1}{3} + \frac{x}{3+x} = 1;$

б) $(\frac{2x}{x-3} + \frac{1}{x+1} + \frac{4}{x^2-2x-3}) \cdot \frac{x}{2x+1} + \frac{3}{3-x} = 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Чтобы доказать тождество $ \left( \frac{2x}{x+2} + \frac{4}{x^2+5x+6} - \frac{3}{x+3} \right) : \frac{2x-1}{3} + \frac{x}{3+x} = 1 $, преобразуем его левую часть по действиям.

1. Упростим выражение в скобках. Для этого разложим знаменатель квадратного трехчлена на множители. Корнями уравнения $ x^2+5x+6=0 $ являются $ x_1=-2 $ и $ x_2=-3 $. Таким образом, $ x^2+5x+6 = (x+2)(x+3) $. Теперь приведем дроби к общему знаменателю:

$ \frac{2x}{x+2} + \frac{4}{(x+2)(x+3)} - \frac{3}{x+3} = \frac{2x(x+3)}{(x+2)(x+3)} + \frac{4}{(x+2)(x+3)} - \frac{3(x+2)}{(x+2)(x+3)} $

Сложим числители:

$ \frac{2x^2+6x+4-3x-6}{(x+2)(x+3)} = \frac{2x^2+3x-2}{(x+2)(x+3)} $

2. Разложим на множители числитель полученной дроби $ 2x^2+3x-2 $. Найдем корни уравнения $ 2x^2+3x-2=0 $. Дискриминант $ D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9+16=25 $. Корни: $ x_1 = \frac{-3+5}{4} = \frac{1}{2} $ и $ x_2 = \frac{-3-5}{4} = -2 $. Тогда $ 2x^2+3x-2 = 2(x-\frac{1}{2})(x+2) = (2x-1)(x+2) $.

Подставим это в дробь и сократим:

$ \frac{(2x-1)(x+2)}{(x+2)(x+3)} = \frac{2x-1}{x+3} $

3. Выполним деление:

$ \frac{2x-1}{x+3} : \frac{2x-1}{3} = \frac{2x-1}{x+3} \cdot \frac{3}{2x-1} = \frac{3}{x+3} $

4. Выполним сложение:

$ \frac{3}{x+3} + \frac{x}{3+x} = \frac{3}{x+3} + \frac{x}{x+3} = \frac{3+x}{x+3} = 1 $

В результате преобразования левой части мы получили 1, что равно правой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б)

Чтобы доказать тождество $ \left( \frac{2x}{x-3} + \frac{1}{x+1} + \frac{4}{x^2-2x-3} \right) \cdot \frac{x}{2x+1} + \frac{3}{3-x} = 1 $, преобразуем его левую часть по действиям.

1. Упростим выражение в скобках. Разложим знаменатель $ x^2-2x-3 $ на множители. Корнями уравнения $ x^2-2x-3=0 $ являются $ x_1=3 $ и $ x_2=-1 $. Таким образом, $ x^2-2x-3=(x-3)(x+1) $. Приведем дроби к общему знаменателю:

$ \frac{2x(x+1)}{(x-3)(x+1)} + \frac{1(x-3)}{(x-3)(x+1)} + \frac{4}{(x-3)(x+1)} $

Сложим числители:

$ \frac{2x^2+2x+x-3+4}{(x-3)(x+1)} = \frac{2x^2+3x+1}{(x-3)(x+1)} $

2. Разложим на множители числитель $ 2x^2+3x+1 $. Найдем корни уравнения $ 2x^2+3x+1=0 $. Дискриминант $ D=3^2-4 \cdot 2 \cdot 1 = 9-8=1 $. Корни: $ x_1=\frac{-3+1}{4}=-\frac{1}{2} $ и $ x_2=\frac{-3-1}{4}=-1 $. Тогда $ 2x^2+3x+1=2(x+\frac{1}{2})(x+1)=(2x+1)(x+1) $.

Подставим это в дробь и сократим:

$ \frac{(2x+1)(x+1)}{(x-3)(x+1)} = \frac{2x+1}{x-3} $

3. Выполним умножение:

$ \frac{2x+1}{x-3} \cdot \frac{x}{2x+1} = \frac{x}{x-3} $

4. Выполним сложение. Заметим, что $ 3-x = -(x-3) $:

$ \frac{x}{x-3} + \frac{3}{3-x} = \frac{x}{x-3} - \frac{3}{x-3} = \frac{x-3}{x-3} = 1 $

В результате преобразования левой части мы получили 1, что равно правой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.