Номер 32.45, страница 184, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 32. Теорема Виета и её применение. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 32.45, страница 184.

Условие.

32.45 Дано уравнение $x^2 + (3p - 5)x + (3p^2 - 11p - 6) = 0$. Известно, что сумма квадратов его корней равна 65. Найдите значение параметра $p$ и корни уравнения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Дано квадратное уравнение $x^2 + (3p - 5)x + (3p^2 - 11p - 6) = 0$.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни этого уравнения. Согласно теореме Виета, для приведенного квадратного уравнения ($a=1$):

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(3p - 5) = 5 - 3p$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 3p^2 - 11p - 6$.

Из условия задачи известно, что сумма квадратов корней равна 65, то есть $x_1^2 + x_2^2 = 65$.

Выразим сумму квадратов корней через их сумму и произведение, используя тождество: $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.

Теперь подставим выражения из теоремы Виета в это тождество и приравняем к 65:

$(5 - 3p)^2 - 2(3p^2 - 11p - 6) = 65$.

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно параметра $p$:

$(25 - 30p + 9p^2) - (6p^2 - 22p - 12) = 65$

$25 - 30p + 9p^2 - 6p^2 + 22p + 12 = 65$

Приведем подобные слагаемые:

$3p^2 - 8p + 37 = 65$

$3p^2 - 8p - 28 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $p$. Найдем его корни с помощью дискриминанта:

$D_p = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-28) = 64 + 336 = 400 = 20^2$.

Корни уравнения для $p$:

$p_1 = \frac{-b - \sqrt{D_p}}{2a} = \frac{8 - 20}{2 \cdot 3} = \frac{-12}{6} = -2$.

$p_2 = \frac{-b + \sqrt{D_p}}{2a} = \frac{8 + 20}{2 \cdot 3} = \frac{28}{6} = \frac{14}{3}$.

Получили два возможных значения для параметра $p$. Для каждого из этих значений найдем соответствующие корни исходного уравнения. Предварительно убедимся, что для этих значений $p$ исходное уравнение имеет действительные корни, то есть его дискриминант $D_x \ge 0$.

$D_x = (3p - 5)^2 - 4(3p^2 - 11p - 6) = 9p^2 - 30p + 25 - 12p^2 + 44p + 24 = -3p^2 + 14p + 49$.

При $p = -2$: $D_x = -3(-2)^2 + 14(-2) + 49 = -12 - 28 + 49 = 9 > 0$. Корни действительные.

При $p = \frac{14}{3}$: $D_x = -3(\frac{14}{3})^2 + 14(\frac{14}{3}) + 49 = -3 \cdot \frac{196}{9} + \frac{196}{3} + 49 = -\frac{196}{3} + \frac{196}{3} + 49 = 49 > 0$. Корни действительные.

Оба значения $p$ являются решениями задачи.

1. Случай при $p = -2$

Подставим $p = -2$ в исходное уравнение:

$x^2 + (3(-2) - 5)x + (3(-2)^2 - 11(-2) - 6) = 0$

$x^2 + (-6 - 5)x + (12 + 22 - 6) = 0$

$x^2 - 11x + 28 = 0$

Найдем корни этого приведенного квадратного уравнения. По теореме Виета, $x_1 + x_2 = 11$ и $x_1 \cdot x_2 = 28$. Методом подбора находим корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = 7$.

Проверим условие: $4^2 + 7^2 = 16 + 49 = 65$. Условие выполняется.

Ответ: при $p = -2$ корни уравнения равны 4 и 7.

2. Случай при $p = \frac{14}{3}$

Подставим $p = \frac{14}{3}$ в исходное уравнение:

$x^2 + (3 \cdot \frac{14}{3} - 5)x + (3(\frac{14}{3})^2 - 11 \cdot \frac{14}{3} - 6) = 0$

$x^2 + (14 - 5)x + (3 \cdot \frac{196}{9} - \frac{154}{3} - 6) = 0$

$x^2 + 9x + (\frac{196}{3} - \frac{154}{3} - \frac{18}{3}) = 0$

$x^2 + 9x + \frac{24}{3} = 0$

$x^2 + 9x + 8 = 0$

Найдем корни. По теореме Виета, $x_1 + x_2 = -9$ и $x_1 \cdot x_2 = 8$. Корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = -8$.

Проверим условие: $(-1)^2 + (-8)^2 = 1 + 64 = 65$. Условие выполняется.

Ответ: при $p = \frac{14}{3}$ корни уравнения равны -1 и -8.