Номер 32.41, страница 184, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 32. Теорема Виета и её применение. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 32.41, страница 184.

Условие.

32.41 Дано уравнение $x^2 - (2p^2 - p - 6)x + (8p - 1) = 0$. Известно, что сумма его корней равна $-5$. Найдите значения параметра $p$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Данное уравнение является квадратным уравнением вида $ax^2 + bx + c = 0$, где:

• $a = 1$
• $b = -(2p^2 - p - 6)$
• $c = 8p - 1$

Согласно теореме Виета, сумма корней ($x_1 + x_2$) квадратного уравнения равна $-b/a$.

В нашем случае сумма корней выражается как:

$x_1 + x_2 = -\frac{-(2p^2 - p - 6)}{1} = 2p^2 - p - 6$

По условию задачи, сумма корней равна -5. Следовательно, мы можем составить уравнение для нахождения параметра $p$:

$2p^2 - p - 6 = -5$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение относительно $p$:

$2p^2 - p - 6 + 5 = 0$

$2p^2 - p - 1 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$

Поскольку дискриминант положительный ($D = 9 > 0$), уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем значения $p$:

$p_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 3}{4} = \frac{4}{4} = 1$

$p_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 3}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$

Мы получили два значения параметра $p$, при которых сумма корней исходного уравнения равна -5. Теорема Виета справедлива как для действительных, так и для комплексных корней, поэтому дополнительная проверка существования действительных корней у исходного уравнения не требуется по условию задачи.

Ответ: $p_1 = 1$, $p_2 = -0.5$.