Номер 32.36, страница 183, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 32. Теорема Виета и её применение. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 32.36, страница 183.

Условие.

32.36 Разложите квадратный трёхчлен на множители:

a) $x^2 - 12x + 24;$

б) $4x^2 - 4x - 1;$

в) $x^2 - 6x + 1;$

г) $4x^2 - 12x + 7.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Чтобы разложить квадратный трёхчлен вида $ax^2 + bx + c$ на множители, используется формула $a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ являются корнями соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Корни находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

а) $x^2 - 12x + 24$

Сначала найдём корни уравнения $x^2 - 12x + 24 = 0$.

Коэффициенты: $a = 1$, $b = -12$, $c = 24$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 144 - 96 = 48$.

Найдём корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-(-12) \pm \sqrt{48}}{2 \cdot 1} = \frac{12 \pm \sqrt{16 \cdot 3}}{2} = \frac{12 \pm 4\sqrt{3}}{2} = 6 \pm 2\sqrt{3}$.

Корни уравнения: $x_1 = 6 + 2\sqrt{3}$ и $x_2 = 6 - 2\sqrt{3}$.

Теперь подставим найденные корни и коэффициент $a=1$ в формулу разложения:

$x^2 - 12x + 24 = 1 \cdot (x - (6 + 2\sqrt{3}))(x - (6 - 2\sqrt{3})) = (x - 6 - 2\sqrt{3})(x - 6 + 2\sqrt{3})$.

Ответ: $(x - 6 - 2\sqrt{3})(x - 6 + 2\sqrt{3})$.

б) $4x^2 - 4x - 1$

Найдём корни уравнения $4x^2 - 4x - 1 = 0$.

Коэффициенты: $a = 4$, $b = -4$, $c = -1$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 16 + 16 = 32$.

Найдём корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 4} = \frac{4 \pm \sqrt{16 \cdot 2}}{8} = \frac{4 \pm 4\sqrt{2}}{8} = \frac{1 \pm \sqrt{2}}{2}$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$ и $x_2 = \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$.

Подставим корни и коэффициент $a=4$ в формулу разложения:

$4x^2 - 4x - 1 = 4\left(x - \frac{1 + \sqrt{2}}{2}\right)\left(x - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}\right)$.

Упростим выражение, внеся множитель 4 в скобки ($4 = 2 \cdot 2$):

$\left[2\left(x - \frac{1 + \sqrt{2}}{2}\right)\right]\left[2\left(x - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}\right)\right] = (2x - (1 + \sqrt{2}))(2x - (1 - \sqrt{2})) = (2x - 1 - \sqrt{2})(2x - 1 + \sqrt{2})$.

Ответ: $(2x - 1 - \sqrt{2})(2x - 1 + \sqrt{2})$.

в) $x^2 - 6x + 1$

Найдём корни уравнения $x^2 - 6x + 1 = 0$.

Коэффициенты: $a = 1$, $b = -6$, $c = 1$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 36 - 4 = 32$.

Найдём корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-(-6) \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm \sqrt{16 \cdot 2}}{2} = \frac{6 \pm 4\sqrt{2}}{2} = 3 \pm 2\sqrt{2}$.

Корни уравнения: $x_1 = 3 + 2\sqrt{2}$ и $x_2 = 3 - 2\sqrt{2}$.

Подставим корни и коэффициент $a=1$ в формулу разложения:

$x^2 - 6x + 1 = 1 \cdot (x - (3 + 2\sqrt{2}))(x - (3 - 2\sqrt{2})) = (x - 3 - 2\sqrt{2})(x - 3 + 2\sqrt{2})$.

Ответ: $(x - 3 - 2\sqrt{2})(x - 3 + 2\sqrt{2})$.

г) $4x^2 - 12x + 7$

Найдём корни уравнения $4x^2 - 12x + 7 = 0$.

Коэффициенты: $a = 4$, $b = -12$, $c = 7$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 7 = 144 - 112 = 32$.

Найдём корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-(-12) \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 4} = \frac{12 \pm \sqrt{16 \cdot 2}}{8} = \frac{12 \pm 4\sqrt{2}}{8} = \frac{3 \pm \sqrt{2}}{2}$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{3 + \sqrt{2}}{2}$ и $x_2 = \frac{3 - \sqrt{2}}{2}$.

Подставим корни и коэффициент $a=4$ в формулу разложения:

$4x^2 - 12x + 7 = 4\left(x - \frac{3 + \sqrt{2}}{2}\right)\left(x - \frac{3 - \sqrt{2}}{2}\right)$.

Упростим выражение, внеся множитель 4 в скобки ($4 = 2 \cdot 2$):

$\left[2\left(x - \frac{3 + \sqrt{2}}{2}\right)\right]\left[2\left(x - \frac{3 - \sqrt{2}}{2}\right)\right] = (2x - (3 + \sqrt{2}))(2x - (3 - \sqrt{2})) = (2x - 3 - \sqrt{2})(2x - 3 + \sqrt{2})$.

Ответ: $(2x - 3 - \sqrt{2})(2x - 3 + \sqrt{2})$.