Номер 32.37, страница 184, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 32. Теорема Виета и её применение. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 32.37, страница 184.

Условие.

Сократите дробь:

32.37 a) $\frac{x - 5\sqrt{x} - 14}{x - 2\sqrt{x} - 8};$

б) $\frac{x^4 - 10x^2 + 9}{x^2 - 2x - 3};$

в) $\frac{2x + 11\sqrt{x} - 6}{x + 3\sqrt{x} - 18};$

г) $\frac{x^3 - 4x}{x^4 - 3x^2 - 4}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) $ \frac{x - 5\sqrt{x} - 14}{x - 2\sqrt{x} - 8} $

Для того чтобы сократить эту дробь, удобно ввести замену переменной. Пусть $ y = \sqrt{x} $, тогда $ x = y^2 $. Отметим, что $ x \ge 0 $, следовательно, $ y \ge 0 $. Исходное выражение примет вид:

$ \frac{y^2 - 5y - 14}{y^2 - 2y - 8} $

Теперь необходимо разложить числитель и знаменатель на множители. Для этого найдем корни соответствующих квадратных уравнений.

Для числителя $ y^2 - 5y - 14 $: решим уравнение $ y^2 - 5y - 14 = 0 $. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно -14. Легко подобрать корни: $ y_1 = 7 $ и $ y_2 = -2 $. Таким образом, $ y^2 - 5y - 14 = (y - 7)(y - (-2)) = (y - 7)(y + 2) $.

Для знаменателя $ y^2 - 2y - 8 $: решим уравнение $ y^2 - 2y - 8 = 0 $. По теореме Виета, сумма корней равна 2, а их произведение равно -8. Корни: $ y_1 = 4 $ и $ y_2 = -2 $. Таким образом, $ y^2 - 2y - 8 = (y - 4)(y - (-2)) = (y - 4)(y + 2) $.

Подставим полученные разложения обратно в дробь:

$ \frac{(y - 7)(y + 2)}{(y - 4)(y + 2)} $

Сократим общий множитель $ (y + 2) $. Поскольку $ y = \sqrt{x} \ge 0 $, то $ y+2 > 0 $, значит, этот множитель никогда не равен нулю. Область определения исходной функции требует, чтобы знаменатель не был равен нулю: $ x - 2\sqrt{x} - 8 \neq 0 $, что эквивалентно $ (y-4)(y+2) \neq 0 $, откуда $ y \neq 4 $, т.е. $ x \neq 16 $.

После сокращения получаем:

$ \frac{y - 7}{y - 4} $

Теперь выполним обратную замену $ y = \sqrt{x} $:

$ \frac{\sqrt{x} - 7}{\sqrt{x} - 4} $

Ответ: $ \frac{\sqrt{x} - 7}{\sqrt{x} - 4} $.

б) $ \frac{x^4 - 10x^2 + 9}{x^2 - 2x - 3} $

Разложим на множители числитель и знаменатель.

Числитель $ x^4 - 10x^2 + 9 $ — это биквадратный трехчлен. Сделаем замену $ z = x^2 $. Получим квадратный трехчлен $ z^2 - 10z + 9 $. Корни уравнения $ z^2 - 10z + 9 = 0 $ по теореме Виета — это $ z_1 = 1 $ и $ z_2 = 9 $. Значит, $ z^2 - 10z + 9 = (z - 1)(z - 9) $. Вернемся к переменной $ x $: $ (x^2 - 1)(x^2 - 9) $. Применим формулу разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $ к обоим множителям: $ (x - 1)(x + 1)(x - 3)(x + 3) $.

Знаменатель $ x^2 - 2x - 3 $. Найдем корни уравнения $ x^2 - 2x - 3 = 0 $. По теореме Виета, корни равны $ x_1 = 3 $ и $ x_2 = -1 $. Значит, $ x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1) $.

Подставим разложения в исходную дробь:

$ \frac{(x - 1)(x + 1)(x - 3)(x + 3)}{(x + 1)(x - 3)} $

Сократим общие множители $ (x + 1) $ и $ (x - 3) $ (при условии, что $ x \neq -1 $ и $ x \neq 3 $, так как при этих значениях знаменатель обращается в нуль).

$ (x - 1)(x + 3) $

Раскроем скобки, чтобы получить многочлен в стандартном виде: $ x^2 + 3x - x - 3 = x^2 + 2x - 3 $.

Ответ: $ x^2 + 2x - 3 $.

в) $ \frac{2x + 11\sqrt{x} - 6}{x + 3\sqrt{x} - 18} $

Снова воспользуемся заменой переменной. Пусть $ y = \sqrt{x} $, тогда $ x = y^2 $ ($ y \ge 0 $). Выражение преобразуется к виду:

$ \frac{2y^2 + 11y - 6}{y^2 + 3y - 18} $

Разложим на множители числитель и знаменатель.

Для числителя $ 2y^2 + 11y - 6 $: решим уравнение $ 2y^2 + 11y - 6 = 0 $. Найдем дискриминант: $ D = 11^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 121 + 48 = 169 = 13^2 $. Корни уравнения: $ y_1 = \frac{-11 - 13}{2 \cdot 2} = \frac{-24}{4} = -6 $ и $ y_2 = \frac{-11 + 13}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $. Разложение на множители: $ 2(y - (-6))(y - \frac{1}{2}) = (y + 6)(2y - 1) $.

Для знаменателя $ y^2 + 3y - 18 $: решим уравнение $ y^2 + 3y - 18 = 0 $. По теореме Виета, корни равны $ y_1 = 3 $ и $ y_2 = -6 $. Разложение на множители: $ (y - 3)(y - (-6)) = (y - 3)(y + 6) $.

Подставим разложения в дробь:

$ \frac{(2y - 1)(y + 6)}{(y - 3)(y + 6)} $

Сократим общий множитель $ (y + 6) $. Так как $ y = \sqrt{x} \ge 0 $, то $ y+6 > 0 $. Знаменатель исходной дроби не равен нулю при $ y \neq 3 $, т.е. $ x \neq 9 $.

$ \frac{2y - 1}{y - 3} $

Выполним обратную замену $ y = \sqrt{x} $:

$ \frac{2\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} - 3} $

Ответ: $ \frac{2\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} - 3} $.

г) $ \frac{x^3 - 4x}{x^4 - 3x^2 - 4} $

Разложим на множители числитель и знаменатель дроби.

Числитель $ x^3 - 4x $: вынесем общий множитель $ x $ за скобки, получим $ x(x^2 - 4) $. Выражение в скобках является разностью квадратов, поэтому $ x(x - 2)(x + 2) $.

Знаменатель $ x^4 - 3x^2 - 4 $: это биквадратный трехчлен. Пусть $ z = x^2 $. Тогда выражение примет вид $ z^2 - 3z - 4 $. Найдем корни уравнения $ z^2 - 3z - 4 = 0 $. По теореме Виета, корни равны $ z_1 = 4 $ и $ z_2 = -1 $. Таким образом, $ z^2 - 3z - 4 = (z - 4)(z + 1) $. Выполнив обратную замену, получим $ (x^2 - 4)(x^2 + 1) $. Разложим первый множитель по формуле разности квадратов: $ (x - 2)(x + 2)(x^2 + 1) $.

Подставим разложения в исходную дробь:

$ \frac{x(x - 2)(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)(x^2 + 1)} $

Сократим общие множители $ (x - 2) $ и $ (x + 2) $. Это возможно при $ x \neq 2 $ и $ x \neq -2 $, так как при этих значениях знаменатель обращается в нуль. Множитель $ (x^2+1) $ всегда положителен при любых действительных $ x $.

$ \frac{x}{x^2 + 1} $

Ответ: $ \frac{x}{x^2 + 1} $.