Номер 32.38, страница 184, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 32. Теорема Виета и её применение. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 32.38, страница 184.

Условие.

32.38 a) $\frac{x^3 + 5x^2 - 4x - 20}{x^2 + 3x - 10}$;

б) $\frac{x^3 - 2x^2 - 16x + 32}{x^2 - 6x + 8}$;

в) $\frac{x^3 + x^2 - 4x - 4}{x^2 + 3x + 2}$;

г) $\frac{x^3 - 3x^2 - x + 3}{x^2 - 2x - 3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Чтобы упростить дробь $\frac{x^3 + 5x^2 - 4x - 20}{x^2 + 3x - 10}$, необходимо разложить на множители числитель и знаменатель.

Разложим числитель $x^3 + 5x^2 - 4x - 20$ методом группировки:

$x^3 + 5x^2 - 4x - 20 = (x^3 + 5x^2) - (4x + 20) = x^2(x + 5) - 4(x + 5) = (x + 5)(x^2 - 4)$.

Выражение $x^2 - 4$ является разностью квадратов, поэтому его можно разложить дальше: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$.

Таким образом, числитель равен $(x + 5)(x - 2)(x + 2)$.

Разложим знаменатель $x^2 + 3x - 10$. Это квадратный трехчлен. Найдем его корни по теореме Виета. Сумма корней равна $-3$, а произведение равно $-10$. Корнями являются числа $2$ и $-5$.

Следовательно, $x^2 + 3x - 10 = (x - 2)(x - (-5)) = (x - 2)(x + 5)$.

Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь и сократим:

$\frac{(x + 5)(x - 2)(x + 2)}{(x - 2)(x + 5)} = x + 2$.

Сокращение возможно при условии, что $x \neq 2$ и $x \neq -5$.

Ответ: $x + 2$.

б)

Упростим дробь $\frac{x^3 - 2x^2 - 16x + 32}{x^2 - 6x + 8}$.

Разложим числитель $x^3 - 2x^2 - 16x + 32$ на множители методом группировки:

$x^3 - 2x^2 - 16x + 32 = (x^3 - 2x^2) - (16x - 32) = x^2(x - 2) - 16(x - 2) = (x - 2)(x^2 - 16)$.

Используя формулу разности квадратов, получаем: $(x - 2)(x - 4)(x + 4)$.

Разложим знаменатель $x^2 - 6x + 8$. По теореме Виета, сумма корней равна $6$, произведение равно $8$. Корни — это $2$ и $4$.

Значит, $x^2 - 6x + 8 = (x - 2)(x - 4)$.

Подставим разложения в дробь и сократим общие множители:

$\frac{(x - 2)(x - 4)(x + 4)}{(x - 2)(x - 4)} = x + 4$.

Сокращение возможно при условии, что $x \neq 2$ и $x \neq 4$.

Ответ: $x + 4$.

в)

Упростим дробь $\frac{x^3 + x^2 - 4x - 4}{x^2 + 3x + 2}$.

Разложим числитель $x^3 + x^2 - 4x - 4$ на множители методом группировки:

$x^3 + x^2 - 4x - 4 = (x^3 + x^2) - (4x + 4) = x^2(x + 1) - 4(x + 1) = (x + 1)(x^2 - 4)$.

Применив формулу разности квадратов, получим: $(x + 1)(x - 2)(x + 2)$.

Разложим знаменатель $x^2 + 3x + 2$. По теореме Виета, сумма корней равна $-3$, произведение равно $2$. Корни — это $-1$ и $-2$.

Следовательно, $x^2 + 3x + 2 = (x - (-1))(x - (-2)) = (x + 1)(x + 2)$.

Подставим разложения в дробь и сократим:

$\frac{(x + 1)(x - 2)(x + 2)}{(x + 1)(x + 2)} = x - 2$.

Сокращение возможно при условии, что $x \neq -1$ и $x \neq -2$.

Ответ: $x - 2$.

г)

Упростим дробь $\frac{x^3 - 3x^2 - x + 3}{x^2 - 2x - 3}$.

Разложим числитель $x^3 - 3x^2 - x + 3$ на множители методом группировки:

$x^3 - 3x^2 - x + 3 = (x^3 - 3x^2) - (x - 3) = x^2(x - 3) - 1(x - 3) = (x - 3)(x^2 - 1)$.

Используя формулу разности квадратов, получим: $(x - 3)(x - 1)(x + 1)$.

Разложим знаменатель $x^2 - 2x - 3$. По теореме Виета, сумма корней равна $2$, произведение равно $-3$. Корни — это $3$ и $-1$.

Следовательно, $x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x - (-1)) = (x - 3)(x + 1)$.

Подставим разложения в дробь и сократим:

$\frac{(x - 3)(x - 1)(x + 1)}{(x - 3)(x + 1)} = x - 1$.

Сокращение возможно при условии, что $x \neq 3$ и $x \neq -1$.

Ответ: $x - 1$.