Номер 32.43, страница 184, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 32. Теорема Виета и её применение. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 32.43, страница 184.

Условие.

32.43 При некотором значении параметра $p$ корни квадратного уравнения $2px^2 + (p^2 - 9)x - 5p + 2 = 0$ являются противоположными числами. Найдите эти корни.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Дано квадратное уравнение $2px^2 + (p^2 - 9)x - 5p + 2 = 0$. По условию, его корни являются противоположными числами. Если обозначить корни как $x_1$ и $x_2$, то это означает, что их сумма равна нулю: $x_1 + x_2 = 0$.

Согласно теореме Виета, для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ сумма корней равна $x_1 + x_2 = -b/a$. В данном уравнении коэффициенты равны $a = 2p$ и $b = p^2 - 9$.

Применяя теорему Виета, получаем условие для параметра $p$: $-\frac{p^2 - 9}{2p} = 0$.

Это равенство справедливо, если числитель дроби равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
1. Числитель: $p^2 - 9 = 0 \Rightarrow p^2 = 9 \Rightarrow p = 3$ или $p = -3$.
2. Знаменатель: $2p \ne 0 \Rightarrow p \ne 0$.
Оба найденных значения, $p=3$ и $p=-3$, удовлетворяют условию $p \ne 0$.

Также необходимо, чтобы уравнение имело действительные корни, то есть его дискриминант $D$ должен быть неотрицательным ($D \ge 0$). Поскольку мы рассматриваем случаи, когда коэффициент $b = p^2 - 9 = 0$, дискриминант $D = b^2 - 4ac$ упрощается до $D = -4ac$.

Рассмотрим оба возможных значения $p$.
При $p = 3$, коэффициенты равны $a = 2(3) = 6$ и $c = -5(3) + 2 = -13$. Дискриминант $D = -4(6)(-13) = 312$. Так как $D > 0$, действительные корни существуют. Уравнение принимает вид $6x^2 - 13 = 0$. Отсюда $x^2 = \frac{13}{6}$, и корни равны $x = \pm\sqrt{\frac{13}{6}} = \pm\frac{\sqrt{78}}{6}$.

При $p = -3$, коэффициенты равны $a = 2(-3) = -6$ и $c = -5(-3) + 2 = 17$. Дискриминант $D = -4(-6)(17) = 408$. Так как $D > 0$, действительные корни существуют. Уравнение принимает вид $-6x^2 + 17 = 0$. Отсюда $6x^2 = 17$, $x^2 = \frac{17}{6}$, и корни равны $x = \pm\sqrt{\frac{17}{6}} = \pm\frac{\sqrt{102}}{6}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{78}}{6}$ и $\frac{\sqrt{78}}{6}$ или $-\frac{\sqrt{102}}{6}$ и $\frac{\sqrt{102}}{6}$.