Номер 32.40, страница 184, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 32. Теорема Виета и её применение. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 32.40, страница 184.

Условие.

32.40 Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $3x^2 + 8x - 1 = 0$. Не решая уравнения, вычислите:

a) $x_1^2 + x_2^2$;

б) $x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Виета, которая позволяет найти сумму и произведение корней квадратного уравнения, не решая его.

Для общего квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ формулы Виета выглядят так:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

Произведение корней: $x_1 x_2 = \frac{c}{a}$

В данном уравнении $3x^2 + 8x - 1 = 0$ коэффициенты имеют значения: $a = 3$, $b = 8$, $c = -1$.

Подставим эти значения в формулы Виета:

$x_1 + x_2 = -\frac{8}{3}$

$x_1 x_2 = -\frac{1}{3}$

Теперь, зная сумму и произведение корней, можем вычислить требуемые выражения.

а) $x_1^2 + x_2^2$

Чтобы найти сумму квадратов корней, преобразуем это выражение. Мы знаем, что $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$. Отсюда можно выразить $x_1^2 + x_2^2$:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$

Подставим вычисленные ранее значения суммы и произведения корней:

$x_1^2 + x_2^2 = \left(-\frac{8}{3}\right)^2 - 2 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{64}{9} + \frac{2}{3}$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{64}{9} + \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{64}{9} + \frac{6}{9} = \frac{64 + 6}{9} = \frac{70}{9}$.

Ответ: $\frac{70}{9}$.

б) $x_1^2x_2 + x_1x_2^2$

Для вычисления этого выражения вынесем общий множитель $x_1x_2$ за скобки:

$x_1^2x_2 + x_1x_2^2 = x_1x_2(x_1 + x_2)$

Подставим известные нам значения произведения и суммы корней:

$x_1x_2(x_1 + x_2) = \left(-\frac{1}{3}\right) \cdot \left(-\frac{8}{3}\right) = \frac{8}{9}$.

Ответ: $\frac{8}{9}$.