Номер 32.35, страница 183, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 32. Теорема Виета и её применение. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 32.35, страница 183.

Условие.

32.35 а) $x^4 - 13x^2 + 36;$
б) $-2x^6 + 9x^3 - 4;$
в) $-x^4 + 20x^2 - 64;$
г) $15x^6 - 8x^3 + 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Для разложения на множители биквадратного многочлена $x^4 - 13x^2 + 36$ введем замену переменной.
Пусть $y = x^2$. Так как $x^4 = (x^2)^2 = y^2$, исходное выражение можно переписать в виде квадратного трехчлена относительно переменной $y$:
$y^2 - 13y + 36$
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $y^2 - 13y + 36 = 0$. Воспользуемся теоремой Виета:
Сумма корней $y_1 + y_2 = 13$.
Произведение корней $y_1 \cdot y_2 = 36$.
Подбором находим корни: $y_1 = 4$ и $y_2 = 9$.
Теперь разложим квадратный трехчлен на множители по формуле $a(y-y_1)(y-y_2)$:
$y^2 - 13y + 36 = (y - 4)(y - 9)$.
Выполним обратную замену, подставив $x^2$ вместо $y$:
$(x^2 - 4)(x^2 - 9)$.
Оба множителя в полученном выражении являются разностью квадратов. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$x^2 - 4 = x^2 - 2^2 = (x - 2)(x + 2)$
$x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x - 3)(x + 3)$
Таким образом, окончательное разложение многочлена на множители имеет вид:
$(x - 2)(x + 2)(x - 3)(x + 3)$.
Ответ: $(x - 2)(x + 2)(x - 3)(x + 3)$.

б) Для разложения на множители выражения $-2x^6 + 9x^3 - 4$ сделаем замену переменной.
Пусть $y = x^3$. Тогда $x^6 = (x^3)^2 = y^2$. Исходное выражение принимает вид:
$-2y^2 + 9y - 4$.
Найдем корни квадратного уравнения $-2y^2 + 9y - 4 = 0$. Для удобства умножим обе части на -1:
$2y^2 - 9y + 4 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 81 - 32 = 49$.
Найдем корни:
$y_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{9 - 7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
$y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{9 + 7}{4} = \frac{16}{4} = 4$.
Теперь разложим квадратный трехчлен $-2y^2 + 9y - 4$ на множители:
$-2(y - y_1)(y - y_2) = -2(y - \frac{1}{2})(y - 4)$.
Внесем множитель -2 в первую скобку:
$(-2y + 1)(y - 4)$ или $(1 - 2y)(y - 4)$.
Выполним обратную замену $y = x^3$:
$(1 - 2x^3)(x^3 - 4)$.
Также можно было записать как $-(2x^3 - 1)(x^3 - 4)$.
Ответ: $(1 - 2x^3)(x^3 - 4)$ или $-(2x^3 - 1)(x^3 - 4)$.

в) Для разложения на множители выражения $-x^4 + 20x^2 - 64$ вынесем за скобки -1:
$-(x^4 - 20x^2 + 64)$.
Выражение в скобках является биквадратным. Сделаем замену $y = x^2$:
$y^2 - 20y + 64$.
Найдем корни уравнения $y^2 - 20y + 64 = 0$ с помощью теоремы Виета:
$y_1 + y_2 = 20$, $y_1 \cdot y_2 = 64$.
Отсюда корни $y_1 = 4$, $y_2 = 16$.
Разложим трехчлен на множители: $y^2 - 20y + 64 = (y - 4)(y - 16)$.
Выполним обратную замену $y = x^2$:
$(x^2 - 4)(x^2 - 16)$.
Оба множителя являются разностью квадратов. Разложим их по формуле $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:
$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$
$x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)$
Подставим разложенные множители в исходное выражение, не забывая про знак минуса:
$-(x - 2)(x + 2)(x - 4)(x + 4)$.
Ответ: $-(x - 2)(x + 2)(x - 4)(x + 4)$.

г) Для разложения на множители выражения $15x^6 - 8x^3 + 1$ введем замену переменной.
Пусть $y = x^3$. Тогда выражение примет вид:
$15y^2 - 8y + 1$.
Найдем корни квадратного уравнения $15y^2 - 8y + 1 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 15 \cdot 1 = 64 - 60 = 4$.
Найдем корни:
$y_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - \sqrt{4}}{2 \cdot 15} = \frac{8 - 2}{30} = \frac{6}{30} = \frac{1}{5}$.
$y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + \sqrt{4}}{2 \cdot 15} = \frac{8 + 2}{30} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}$.
Разложим квадратный трехчлен на множители:
$15(y - \frac{1}{5})(y - \frac{1}{3})$.
Представим множитель 15 как $5 \cdot 3$ и внесем каждый из множителей в соответствующую скобку:
$(5 \cdot (y - \frac{1}{5})) \cdot (3 \cdot (y - \frac{1}{3})) = (5y - 1)(3y - 1)$.
Выполним обратную замену $y = x^3$:
$(5x^3 - 1)(3x^3 - 1)$.
Ответ: $(5x^3 - 1)(3x^3 - 1)$.