Номер 32.30, страница 183, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 32. Теорема Виета и её применение. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 32.30, страница 183.

Условие.

32.30 Используя теорему Виета и утверждение, доказанное в предыдущем упражнении, найдите корни уравнения:

а) $3x^2 + 18x + 15 = 0;$

б) $67x^2 - 105x - 172 = 0;$

в) $11x^2 + 17x + 6 = 0;$

г) $14x^2 - 37x - 51 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Условие задачи предлагает использовать теорему Виета и утверждение, доказанное в предыдущем упражнении. Этим утверждением, по всей видимости, является следующее свойство коэффициентов квадратного уравнения:

Для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$, если выполняется равенство $a - b + c = 0$, то один из его корней равен $x_1 = -1$.

Это легко проверить, подставив $x = -1$ в уравнение: $a(-1)^2 + b(-1) + c = a - b + c$. Если $a - b + c = 0$, то $x=-1$ действительно является корнем.

Второй корень $x_2$ можно найти, используя теорему Виета, согласно которой произведение корней равно $x_1 \cdot x_2 = c/a$. Подставив известный корень $x_1 = -1$, получим: $-1 \cdot x_2 = c/a$, откуда $x_2 = -c/a$.

Применим это свойство для решения данных уравнений.

а) $3x^2 + 18x + 15 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a = 3$, $b = 18$, $c = 15$.
Проверим выполнение условия $a - b + c = 0$:
$3 - 18 + 15 = -15 + 15 = 0$.
Так как равенство выполняется, то один из корней уравнения $x_1 = -1$.
Второй корень найдем по формуле $x_2 = -c/a$:
$x_2 = - \frac{15}{3} = -5$.

Ответ: $-5; -1$.

б) $67x^2 - 105x - 172 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a = 67$, $b = -105$, $c = -172$.
Проверим выполнение условия $a - b + c = 0$:
$67 - (-105) + (-172) = 67 + 105 - 172 = 172 - 172 = 0$.
Так как равенство выполняется, то один из корней уравнения $x_1 = -1$.
Второй корень найдем по формуле $x_2 = -c/a$:
$x_2 = - \frac{-172}{67} = \frac{172}{67}$.

Ответ: $-1; \frac{172}{67}$.

в) $11x^2 + 17x + 6 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a = 11$, $b = 17$, $c = 6$.
Проверим выполнение условия $a - b + c = 0$:
$11 - 17 + 6 = -6 + 6 = 0$.
Так как равенство выполняется, то один из корней уравнения $x_1 = -1$.
Второй корень найдем по формуле $x_2 = -c/a$:
$x_2 = - \frac{6}{11}$.

Ответ: $-1; -\frac{6}{11}$.

г) $14x^2 - 37x - 51 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a = 14$, $b = -37$, $c = -51$.
Проверим выполнение условия $a - b + c = 0$:
$14 - (-37) + (-51) = 14 + 37 - 51 = 51 - 51 = 0$.
Так как равенство выполняется, то один из корней уравнения $x_1 = -1$.
Второй корень найдем по формуле $x_2 = -c/a$:
$x_2 = - \frac{-51}{14} = \frac{51}{14}$.

Ответ: $-1; \frac{51}{14}$.