Номер 32.23, страница 182, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 32. Теорема Виета и её применение. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 32.23, страница 182.

Условие.

Решите уравнение:

32.23 а) $\frac{x^2 + 1}{x^2 - 4x + 3} + \frac{2}{x - 1} = \frac{3}{x - 3}$;

б) $\frac{18}{x - 8} = \frac{x^2 - 7}{x^2 - 7x - 8} - \frac{6}{x + 1}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) $\frac{x^2 + 1}{x^2 - 4x + 3} + \frac{2}{x - 1} = \frac{3}{x - 3}$

Сначала разложим на множители знаменатель первой дроби $x^2 - 4x + 3$. Для этого решим квадратное уравнение $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а произведение равно 3. Следовательно, корни равны $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$. Таким образом, $x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)$.

Теперь исходное уравнение можно переписать в виде:

$\frac{x^2 + 1}{(x - 1)(x - 3)} + \frac{2}{x - 1} = \frac{3}{x - 3}$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, что знаменатели не равны нулю: $x - 1 \neq 0$ и $x - 3 \neq 0$. Отсюда следует, что $x \neq 1$ и $x \neq 3$.

Приведем все дроби к общему знаменателю $(x - 1)(x - 3)$ и умножим обе части уравнения на него:

$(x^2 + 1) + 2(x - 3) = 3(x - 1)$

Раскроем скобки:

$x^2 + 1 + 2x - 6 = 3x - 3$

Приведем подобные слагаемые:

$x^2 + 2x - 5 = 3x - 3$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$x^2 + 2x - 3x - 5 + 3 = 0$

$x^2 - x - 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Снова воспользуемся теоремой Виета: сумма корней равна 1, а произведение равно -2. Корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Оба найденных корня, 2 и -1, удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 1, x \neq 3$).

Ответ: $-1; 2$.

б) $\frac{18}{x - 8} = \frac{x^2 - 7}{x^2 - 7x - 8} - \frac{6}{x + 1}$

Разложим на множители знаменатель $x^2 - 7x - 8$. Решим уравнение $x^2 - 7x - 8 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 7, а произведение равно -8. Корни: $x_1 = 8$ и $x_2 = -1$. Значит, $x^2 - 7x - 8 = (x - 8)(x + 1)$.

Перепишем уравнение с разложенным знаменателем:

$\frac{18}{x - 8} = \frac{x^2 - 7}{(x - 8)(x + 1)} - \frac{6}{x + 1}$

ОДЗ: знаменатели не должны быть равны нулю, поэтому $x - 8 \neq 0$ и $x + 1 \neq 0$. Отсюда $x \neq 8$ и $x \neq -1$.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x - 8)(x + 1)$:

$18(x + 1) = (x^2 - 7) - 6(x - 8)$

Раскроем скобки:

$18x + 18 = x^2 - 7 - 6x + 48$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$18x + 18 = x^2 - 6x + 41$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$0 = x^2 - 6x - 18x + 41 - 18$

$x^2 - 24x + 23 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 24, а произведение равно 23. Очевидно, что корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = 23$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 8, x \neq -1$). Оба корня, 1 и 23, удовлетворяют этим условиям.

Ответ: $1; 23$.