Номер 32.26, страница 182, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 32. Теорема Виета и её применение. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 32.26, страница 182.

Условие.

32.26 Не используя формулу корней, найдите корни квадратного уравнения:

а) $x^2 - 88x + 780 = 0;$

б) $x^2 - 26x + 120 = 0;$

в) $x^2 - 26x + 105 = 0;$

г) $x^2 + 35x - 114 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) Для решения уравнения $x^2 - 88x + 780 = 0$ воспользуемся теоремой Виета. Для приведённого квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ сумма корней $x_1 + x_2 = -p$ и произведение корней $x_1 \cdot x_2 = q$. В данном случае $p = -88$ и $q = 780$. Таким образом, для корней $x_1$ и $x_2$ должны выполняться условия: $x_1 + x_2 = -(-88) = 88$ и $x_1 \cdot x_2 = 780$. Методом подбора находим, что этим условиям удовлетворяют числа 10 и 78, поскольку их сумма $10 + 78 = 88$, а их произведение $10 \cdot 78 = 780$. Следовательно, корни уравнения – это 10 и 78.
Ответ: 10; 78.

б) Рассмотрим уравнение $x^2 - 26x + 120 = 0$. Применим теорему Виета. Здесь $p = -26$ и $q = 120$. Сумма корней $x_1 + x_2 = -(-26) = 26$, а произведение корней $x_1 \cdot x_2 = 120$. Необходимо найти два числа, произведение которых равно 120, а сумма – 26. Такими числами являются 6 и 20, так как $6 + 20 = 26$ и $6 \cdot 20 = 120$. Таким образом, корни уравнения – это 6 и 20.
Ответ: 6; 20.

в) Для уравнения $x^2 - 26x + 105 = 0$ снова используем теорему Виета. В этом уравнении $p = -26$ и $q = 105$. Сумма корней $x_1 + x_2 = -(-26) = 26$, а произведение $x_1 \cdot x_2 = 105$. Ищем два числа, которые в произведении дают 105, а в сумме – 26. Этими числами являются 5 и 21, поскольку $5 + 21 = 26$ и $5 \cdot 21 = 105$. Значит, корни уравнения – 5 и 21.
Ответ: 5; 21.

г) Решим уравнение $x^2 + 35x - 114 = 0$ с помощью теоремы Виета. Здесь $p = 35$ и $q = -114$. Получаем условия для корней: $x_1 + x_2 = -35$ и $x_1 \cdot x_2 = -114$. Так как произведение корней отрицательно, корни имеют разные знаки. Так как их сумма отрицательна, корень с большим модулем является отрицательным. Разложим 114 на множители: $114 = 2 \cdot 57 = 2 \cdot 3 \cdot 19$. Нам нужны два множителя, разность которых равна 35. Это числа 3 и 38 ($38 - 3 = 35$). Учитывая знаки, получаем корни -38 и 3. Проверяем: $-38 + 3 = -35$ и $-38 \cdot 3 = -114$. Условия выполняются.
Ответ: -38; 3.