Номер 32.24, страница 182, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 32. Теорема Виета и её применение. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 32.24, страница 182.

Условие.

32.24 а) $\frac{x^2 + 14}{x^2 - x - 2} + \frac{10}{x + 1} = \frac{3x}{x - 2}$;

б) $\frac{6}{x - 4} - \frac{3x}{x + 2} = \frac{x^2 + 20}{x^2 - 2x - 8}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Исходное уравнение: $ \frac{x^2+14}{x^2-x-2} + \frac{10}{x+1} = \frac{3x}{x-2} $

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ), исключив значения $x$, при которых знаменатели обращаются в ноль.
$x^2-x-2 \neq 0$; $x+1 \neq 0$; $x-2 \neq 0$.
Разложим квадратный трехчлен $x^2-x-2$ на множители. Для этого решим уравнение $x^2-x-2=0$. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение равно -2. Корни: $x_1=2$ и $x_2=-1$.
Таким образом, $x^2-x-2 = (x-2)(x+1)$.
Условия для ОДЗ: $x \neq 2$ и $x \neq -1$.

2. Приведем все дроби к общему знаменателю $(x-2)(x+1)$.
$ \frac{x^2+14}{(x-2)(x+1)} + \frac{10(x-2)}{(x+1)(x-2)} = \frac{3x(x+1)}{(x-2)(x+1)} $

3. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x-2)(x+1)$, который не равен нулю в ОДЗ, и перейдем к уравнению с числителями.
$ x^2+14 + 10(x-2) = 3x(x+1) $

4. Раскроем скобки и упростим полученное уравнение.
$ x^2+14 + 10x - 20 = 3x^2 + 3x $
$ x^2 + 10x - 6 = 3x^2 + 3x $
Перенесем все слагаемые в одну сторону:
$ 3x^2 - x^2 + 3x - 10x + 6 = 0 $
$ 2x^2 - 7x + 6 = 0 $

5. Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта.
$ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 49 - 48 = 1 $
Найдем корни:
$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2 $
$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 1}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1.5 $

6. Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ ($x \neq 2$ и $x \neq -1$).
Корень $x_1 = 2$ не удовлетворяет ОДЗ, следовательно, является посторонним.
Корень $x_2 = 1.5$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $1.5$

б)

Исходное уравнение: $ \frac{6}{x-4} - \frac{3x}{x+2} = \frac{x^2+20}{x^2-2x-8} $

1. Найдем ОДЗ. Знаменатели не должны быть равны нулю.
$x-4 \neq 0$; $x+2 \neq 0$; $x^2-2x-8 \neq 0$.
Разложим на множители $x^2-2x-8$. Корни уравнения $x^2-2x-8=0$ по теореме Виета: $x_1=4$ и $x_2=-2$.
Значит, $x^2-2x-8 = (x-4)(x+2)$.
Условия для ОДЗ: $x \neq 4$ и $x \neq -2$.

2. Общий знаменатель дробей равен $(x-4)(x+2)$. Приведем уравнение к общему знаменателю.
$ \frac{6(x+2)}{(x-4)(x+2)} - \frac{3x(x-4)}{(x+2)(x-4)} = \frac{x^2+20}{(x-4)(x+2)} $

3. Избавимся от знаменателя, умножив обе части на $(x-4)(x+2)$.
$ 6(x+2) - 3x(x-4) = x^2+20 $

4. Раскроем скобки и решим полученное уравнение.
$ 6x + 12 - (3x^2 - 12x) = x^2+20 $
$ 6x + 12 - 3x^2 + 12x = x^2+20 $
$ -3x^2 + 18x + 12 = x^2+20 $
Перенесем все слагаемые в одну сторону:
$ 0 = x^2 + 3x^2 - 18x + 20 - 12 $
$ 4x^2 - 18x + 8 = 0 $
Для удобства разделим все уравнение на 2:
$ 2x^2 - 9x + 4 = 0 $

5. Решим квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:
$ D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 81 - 32 = 49 $
Найдем корни:
$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{9 + 7}{4} = \frac{16}{4} = 4 $
$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{9 - 7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0.5 $

6. Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 4$ и $x \neq -2$).
Корень $x_1 = 4$ не удовлетворяет ОДЗ и является посторонним.
Корень $x_2 = 0.5$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $0.5$