Номер 32.18, страница 181, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 32. Теорема Виета и её применение. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 32.18, страница 181.

Условие.

32.18 a) $x^2 + 3x - 4 = 0;$

б) $x^2 - 10x - 11 = 0;$

в) $x^2 - 9x - 10 = 0;$

г) $x^2 + 8x - 9 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) $x^2 + 3x - 4 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты $a=1$, $b=3$, $c=-4$.
Для решения найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$.

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Корни находятся по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

$x_2 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 5}{2} = \frac{-8}{2} = -4$.

Можно также решить это уравнение, используя свойство коэффициентов. Так как сумма коэффициентов $a+b+c = 1+3-4=0$, то один из корней равен 1, а второй равен $\frac{c}{a}$.
$x_1 = 1$, $x_2 = \frac{-4}{1} = -4$.

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = -4$.

б) $x^2 - 10x - 11 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты $a=1$, $b=-10$, $c=-11$.
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-11) = 100 + 44 = 144$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Корни находятся по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{-(-10) + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{10 + 12}{2} = \frac{22}{2} = 11$.

$x_2 = \frac{-(-10) - \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{10 - 12}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.

Также можно применить свойство коэффициентов. Так как выполняется соотношение $a-b+c = 1-(-10)+(-11)=1+10-11=0$, то один из корней равен -1, а второй равен $-\frac{c}{a}$.
$x_1 = -1$, $x_2 = -\frac{-11}{1} = 11$.

Ответ: $x_1 = 11, x_2 = -1$.

в) $x^2 - 9x - 10 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты $a=1$, $b=-9$, $c=-10$.
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 81 + 40 = 121$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Корни находятся по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{-(-9) + \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{9 + 11}{2} = \frac{20}{2} = 10$.

$x_2 = \frac{-(-9) - \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{9 - 11}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.

В данном случае также выполняется соотношение $a-b+c = 1-(-9)+(-10)=1+9-10=0$. Поэтому один из корней равен -1, а второй равен $-\frac{c}{a}$.
$x_1 = -1$, $x_2 = -\frac{-10}{1} = 10$.

Ответ: $x_1 = 10, x_2 = -1$.

г) $x^2 + 8x - 9 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты $a=1$, $b=8$, $c=-9$.
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

$D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Корни находятся по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{-8 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 + 10}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

$x_2 = \frac{-8 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 - 10}{2} = \frac{-18}{2} = -9$.

В данном случае сумма коэффициентов $a+b+c = 1+8-9=0$. Поэтому один из корней равен 1, а второй равен $\frac{c}{a}$.
$x_1 = 1$, $x_2 = \frac{-9}{1} = -9$.

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = -9$.