Номер 32.11, страница 181, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 32. Теорема Виета и её применение. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 32.11, страница 181.

Условие.

32.11 a) $-x^2 + 16x - 15;$

б) $-x^2 - 8x + 9;$

B) $-x^2 + 5x - 6;$

г) $-x^2 + 7x + 8.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) $-x^2 + 16x - 15$

Для того чтобы разложить данный квадратный трехчлен на множители, необходимо найти корни соответствующего квадратного уравнения $-x^2 + 16x - 15 = 0$.

Сначала умножим обе части уравнения на -1 для удобства вычислений:

$x^2 - 16x + 15 = 0$

Теперь найдем корни получившегося приведенного квадратного уравнения с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

Для уравнения $x^2 - 16x + 15 = 0$ коэффициенты равны: $a=1, b=-16, c=15$.

$D = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 256 - 60 = 196$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{16 - \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{16 - 14}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$x_2 = \frac{16 + \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{16 + 14}{2} = \frac{30}{2} = 15$

Теперь используем формулу разложения квадратного трехчлена на множители: $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$. В исходном трехчлене $-x^2 + 16x - 15$ старший коэффициент $a = -1$.

Подставляем значения: $-x^2 + 16x - 15 = -1(x - 1)(x - 15) = -(x - 1)(x - 15)$.

Ответ: $-(x - 1)(x - 15)$.

б) $-x^2 - 8x + 9$

Найдем корни квадратного уравнения $-x^2 - 8x + 9 = 0$. Умножим уравнение на -1:

$x^2 + 8x - 9 = 0$

Вычислим дискриминант ($a=1, b=8, c=-9$):

$D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-8 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 - 10}{2} = \frac{-18}{2} = -9$

$x_2 = \frac{-8 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 + 10}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Разложим исходный трехчлен на множители, используя $a=-1$:

$-x^2 - 8x + 9 = -1(x - (-9))(x - 1) = -(x + 9)(x - 1)$.

Ответ: $-(x + 9)(x - 1)$.

в) $-x^2 + 5x - 6$

Найдем корни квадратного уравнения $-x^2 + 5x - 6 = 0$. Умножим уравнение на -1:

$x^2 - 5x + 6 = 0$

Вычислим дискриминант ($a=1, b=-5, c=6$):

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$x_2 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Разложим исходный трехчлен на множители, используя $a=-1$:

$-x^2 + 5x - 6 = -1(x - 2)(x - 3) = -(x - 2)(x - 3)$.

Ответ: $-(x - 2)(x - 3)$.

г) $-x^2 + 7x + 8$

Найдем корни квадратного уравнения $-x^2 + 7x + 8 = 0$. Умножим уравнение на -1:

$x^2 - 7x - 8 = 0$

Вычислим дискриминант ($a=1, b=-7, c=-8$):

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{7 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 9}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

$x_2 = \frac{7 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 9}{2} = \frac{16}{2} = 8$

Разложим исходный трехчлен на множители, используя $a=-1$:

$-x^2 + 7x + 8 = -1(x - (-1))(x - 8) = -(x + 1)(x - 8)$.

Ответ: $-(x + 1)(x - 8)$.