Номер 32.10, страница 180, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 32. Теорема Виета и её применение. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 32.10, страница 180.

Условие.

Разложите на множители квадратный трёхчлен:

32.10 a) $x^2 - 11x + 24;$

б) $x^2 - 2x - 15;$

в) $x^2 + 7x + 12;$

г) $x^2 + 3x - 10.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) Для того чтобы разложить на множители квадратный трёхчлен $x^2 - 11x + 24$, необходимо найти его корни. Для этого приравняем трёхчлен к нулю и решим полученное квадратное уравнение:
$x^2 - 11x + 24 = 0$
Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=-11$, $c=24$.
Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.
$D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 121 - 96 = 25$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдём их:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-11) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{11 + 5}{2} = \frac{16}{2} = 8$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-11) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{11 - 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$.
Теперь используем формулу разложения квадратного трёхчлена на множители: $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$.
Подставляем наши значения ($a=1$, $x_1=8$, $x_2=3$):
$x^2 - 11x + 24 = 1 \cdot (x - 8)(x - 3) = (x - 8)(x - 3)$.
Ответ: $(x - 8)(x - 3)$.

б) Разложим на множители трёхчлен $x^2 - 2x - 15$. Сначала найдём его корни, решив уравнение:
$x^2 - 2x - 15 = 0$
Коэффициенты: $a=1$, $b=-2$, $c=-15$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64$.
Найдём корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-2) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-2) - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 8}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.
Применяем формулу разложения $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$:
$x^2 - 2x - 15 = 1 \cdot (x - 5)(x - (-3)) = (x - 5)(x + 3)$.
Ответ: $(x - 5)(x + 3)$.

в) Разложим на множители трёхчлен $x^2 + 7x + 12$. Для этого решим уравнение:
$x^2 + 7x + 12 = 0$
Коэффициенты: $a=1$, $b=7$, $c=12$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1$.
Найдём корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 + 1}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 - 1}{2} = \frac{-8}{2} = -4$.
Применяем формулу разложения $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$:
$x^2 + 7x + 12 = 1 \cdot (x - (-3))(x - (-4)) = (x + 3)(x + 4)$.
Ответ: $(x + 3)(x + 4)$.

г) Разложим на множители трёхчлен $x^2 + 3x - 10$. Решим уравнение:
$x^2 + 3x - 10 = 0$
Коэффициенты: $a=1$, $b=3$, $c=-10$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$.
Найдём корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 7}{2} = \frac{-10}{2} = -5$.
Применяем формулу разложения $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$:
$x^2 + 3x - 10 = 1 \cdot (x - 2)(x - (-5)) = (x - 2)(x + 5)$.
Ответ: $(x - 2)(x + 5)$.