Номер 32.8, страница 180, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 32. Теорема Виета и её применение. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 32.8, страница 180.

Условие.

32.8 При каких значениях параметра $p$ сумма корней квадратного уравнения $x^2 + (p^2 + 4p - 5)x - p = 0$ равна нулю?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Дано квадратное уравнение $x^2 + (p^2 + 4p - 5)x - p = 0$.

Это приведенное квадратное уравнение вида $x^2 + Bx + C = 0$, где коэффициент при $x$ равен $B = p^2 + 4p - 5$, а свободный член $C = -p$.

Согласно теореме Виета, сумма корней $x_1$ и $x_2$ приведенного квадратного уравнения равна коэффициенту при $x$, взятому с противоположным знаком:

$x_1 + x_2 = -B = -(p^2 + 4p - 5)$

По условию задачи требуется, чтобы сумма корней была равна нулю:

$x_1 + x_2 = 0$

Следовательно, мы можем составить уравнение для параметра $p$:

$-(p^2 + 4p - 5) = 0$

$p^2 + 4p - 5 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $p$. Найдем его корни. Можно разложить левую часть на множители:

$(p + 5)(p - 1) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для $p$: $p_1 = -5$ и $p_2 = 1$.

Однако, теорема Виета применима только в том случае, если у квадратного уравнения существуют корни. В контексте школьной программы обычно подразумеваются действительные корни. Условием существования действительных корней является неотрицательность дискриминанта ($D \ge 0$).

Дискриминант исходного уравнения $x^2 + (p^2 + 4p - 5)x - p = 0$ равен:

$D = B^2 - 4C = (p^2 + 4p - 5)^2 - 4(1)(-p) = (p^2 + 4p - 5)^2 + 4p$

Проверим найденные значения $p$ на выполнение условия $D \ge 0$.

1. Для $p = 1$:

Выражение в скобках $p^2 + 4p - 5$ обращается в ноль, как мы нашли ранее. Поэтому дискриминант равен:

$D = (1^2 + 4 \cdot 1 - 5)^2 + 4 \cdot 1 = 0^2 + 4 = 4$

Так как $D = 4 > 0$, уравнение при $p=1$ имеет два различных действительных корня, и их сумма равна нулю. Следовательно, $p=1$ является решением.

2. Для $p = -5$:

Выражение в скобках $p^2 + 4p - 5$ также обращается в ноль. Дискриминант равен:

$D = ((-5)^2 + 4(-5) - 5)^2 + 4(-5) = 0^2 - 20 = -20$

Так как $D = -20 < 0$, уравнение при $p=-5$ не имеет действительных корней. Поэтому говорить о сумме действительных корней в этом случае некорректно, и это значение не является решением задачи.

Таким образом, единственное значение параметра $p$, удовлетворяющее условию, — это $1$.

Ответ: $1$