Номер 32.13, страница 181, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 32. Теорема Виета и её применение. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 32.13, страница 181.

Условие.

32.13 a) $-3x^2 - 8x + 3;$

б) $-5x^2 + 6x - 1;$

в) $-2x^2 + 9x - 4;$

г) $-4x^2 - 3x + 85.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Чтобы разложить на множители квадратный трехчлен $-3x^2 - 8x + 3$, нужно найти корни соответствующего квадратного уравнения $-3x^2 - 8x + 3 = 0$.

Для удобства вычислений умножим обе части уравнения на -1:

$3x^2 + 8x - 3 = 0$

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-8 + \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-8 + 10}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$x_2 = \frac{-8 - \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-8 - 10}{6} = \frac{-18}{6} = -3$

Разложение квадратного трехчлена имеет вид $a(x - x_1)(x - x_2)$. Для исходного трехчлена коэффициент $a = -3$.

$-3x^2 - 8x + 3 = -3(x - \frac{1}{3})(x - (-3)) = -3(x - \frac{1}{3})(x + 3)$

Чтобы избавиться от дроби, внесем множитель -3 в первую скобку:

$(-3 \cdot (x - \frac{1}{3}))(x + 3) = (-3x + 1)(x + 3) = (1 - 3x)(x + 3)$

Ответ: $(1 - 3x)(x + 3)$

б)

Чтобы разложить на множители квадратный трехчлен $-5x^2 + 6x - 1$, решим уравнение $-5x^2 + 6x - 1 = 0$.

Умножим уравнение на -1:

$5x^2 - 6x + 1 = 0$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 36 - 20 = 16$

Найдем корни уравнения $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{6 + \sqrt{16}}{2 \cdot 5} = \frac{6 + 4}{10} = \frac{10}{10} = 1$

$x_2 = \frac{6 - \sqrt{16}}{2 \cdot 5} = \frac{6 - 4}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

Используем формулу разложения $a(x - x_1)(x - x_2)$ с исходным коэффициентом $a = -5$.

$-5x^2 + 6x - 1 = -5(x - 1)(x - \frac{1}{5})$

Внесем множитель -5 во вторую скобку:

$(x - 1)(-5 \cdot (x - \frac{1}{5})) = (x - 1)(-5x + 1) = (x - 1)(1 - 5x)$

Ответ: $(x - 1)(1 - 5x)$

в)

Чтобы разложить на множители квадратный трехчлен $-2x^2 + 9x - 4$, решим уравнение $-2x^2 + 9x - 4 = 0$.

Умножим уравнение на -1:

$2x^2 - 9x + 4 = 0$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 81 - 32 = 49$

Найдем корни уравнения $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{9 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{9 + 7}{4} = \frac{16}{4} = 4$

$x_2 = \frac{9 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{9 - 7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Используем формулу разложения $a(x - x_1)(x - x_2)$ с исходным коэффициентом $a = -2$.

$-2x^2 + 9x - 4 = -2(x - 4)(x - \frac{1}{2})$

Внесем множитель -2 во вторую скобку:

$(x - 4)(-2 \cdot (x - \frac{1}{2})) = (x - 4)(-2x + 1) = (x - 4)(1 - 2x)$

Ответ: $(x - 4)(1 - 2x)$

г)

Чтобы разложить на множители квадратный трехчлен $-4x^2 - 3x + 85$, решим уравнение $-4x^2 - 3x + 85 = 0$.

Умножим уравнение на -1:

$4x^2 + 3x - 85 = 0$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 3^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-85) = 9 + 16 \cdot 85 = 9 + 1360 = 1369$

$\sqrt{1369} = 37$

Найдем корни уравнения $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-3 + 37}{2 \cdot 4} = \frac{34}{8} = \frac{17}{4}$

$x_2 = \frac{-3 - 37}{2 \cdot 4} = \frac{-40}{8} = -5$

Используем формулу разложения $a(x - x_1)(x - x_2)$ с исходным коэффициентом $a = -4$.

$-4x^2 - 3x + 85 = -4(x - \frac{17}{4})(x - (-5)) = -4(x - \frac{17}{4})(x + 5)$

Внесем множитель -4 в первую скобку:

$(-4 \cdot (x - \frac{17}{4}))(x + 5) = (-4x + 17)(x + 5) = (17 - 4x)(x + 5)$

Ответ: $(17 - 4x)(x + 5)$