Номер 32.12, страница 181, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 32. Теорема Виета и её применение. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 32.12, страница 181.

Условие.

32.12 a) $3x^2 + 5x - 2;$

б) $6x^2 + 5x + 1;$

в) $5x^2 + 2x - 3;$

г) $15x^2 - 8x + 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы разложить квадратный трехчлен $3x^2 + 5x - 2$ на множители, нужно найти его корни, решив квадратное уравнение $3x^2 + 5x - 2 = 0$.

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 = 7^2$

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-5 - 7}{2 \cdot 3} = \frac{-12}{6} = -2$

$x_2 = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Теперь воспользуемся формулой разложения квадратного трехчлена $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$:

$3x^2 + 5x - 2 = 3(x - (-2))(x - \frac{1}{3}) = 3(x + 2)(x - \frac{1}{3})$

Внесем множитель 3 в скобку с дробью:

$(x + 2)(3(x - \frac{1}{3})) = (x + 2)(3x - 1)$

Ответ: $(x + 2)(3x - 1)$

б) Разложим на множители трехчлен $6x^2 + 5x + 1$. Для этого решим уравнение $6x^2 + 5x + 1 = 0$.

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 5^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1 = 1^2$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-5 - 1}{2 \cdot 6} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}$

$x_2 = \frac{-5 + 1}{2 \cdot 6} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3}$

Применим формулу разложения $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$:

$6x^2 + 5x + 1 = 6(x - (-\frac{1}{2}))(x - (-\frac{1}{3})) = 6(x + \frac{1}{2})(x + \frac{1}{3})$

Представим множитель 6 как $2 \cdot 3$ и внесем каждый множитель в соответствующую скобку:

$2(x + \frac{1}{2}) \cdot 3(x + \frac{1}{3}) = (2x + 1)(3x + 1)$

Ответ: $(2x + 1)(3x + 1)$

в) Разложим на множители трехчлен $5x^2 + 2x - 3$. Решим уравнение $5x^2 + 2x - 3 = 0$.

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 2^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 4 + 60 = 64 = 8^2$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-2 - 8}{2 \cdot 5} = \frac{-10}{10} = -1$

$x_2 = \frac{-2 + 8}{2 \cdot 5} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

Применим формулу разложения $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$:

$5x^2 + 2x - 3 = 5(x - (-1))(x - \frac{3}{5}) = 5(x + 1)(x - \frac{3}{5})$

Внесем множитель 5 во вторую скобку:

$(x + 1)(5(x - \frac{3}{5})) = (x + 1)(5x - 3)$

Ответ: $(x + 1)(5x - 3)$

г) Разложим на множители трехчлен $15x^2 - 8x + 1$. Решим уравнение $15x^2 - 8x + 1 = 0$.

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 15 \cdot 1 = 64 - 60 = 4 = 2^2$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{8 - 2}{2 \cdot 15} = \frac{6}{30} = \frac{1}{5}$

$x_2 = \frac{8 + 2}{2 \cdot 15} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}$

Применим формулу разложения $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$:

$15x^2 - 8x + 1 = 15(x - \frac{1}{5})(x - \frac{1}{3})$

Представим множитель 15 как $5 \cdot 3$ и внесем каждый множитель в соответствующую скобку:

$5(x - \frac{1}{5}) \cdot 3(x - \frac{1}{3}) = (5x - 1)(3x - 1)$

Ответ: $(5x - 1)(3x - 1)$