Номер 32.14, страница 181, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 32. Теорема Виета и её применение. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 32.14, страница 181.

Условие.

Сократите дробь:

32.14 a) $ \frac{x+4}{x^2+7x+12} $

б) $ \frac{3x^2-10x+3}{x^2-3x} $

в) $ \frac{x+1}{x^2+4x+3} $

г) $ \frac{5x^2+x-4}{x^2+x} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы сократить дробь $\frac{x+4}{x^2+7x+12}$, необходимо разложить знаменатель на множители. Для этого найдем корни квадратного трехчлена $x^2+7x+12$, приравняв его к нулю.

Решим уравнение $x^2+7x+12=0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{1}}{2} = \frac{-8}{2} = -4$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{1}}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.

По формуле разложения квадратного трехчлена $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$ получаем:
$x^2+7x+12 = (x - (-4))(x - (-3)) = (x+4)(x+3)$.

Теперь подставим разложенный знаменатель обратно в дробь и выполним сокращение:
$\frac{x+4}{x^2+7x+12} = \frac{x+4}{(x+4)(x+3)} = \frac{1}{x+3}$ (при условии $x \neq -4$).

Ответ: $\frac{1}{x+3}$.

б) Чтобы сократить дробь $\frac{3x^2-10x+3}{x^2-3x}$, разложим на множители числитель и знаменатель.

Сначала разложим числитель $3x^2-10x+3$. Найдем корни уравнения $3x^2-10x+3=0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-(-10) - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10-8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
$x_2 = \frac{-(-10) + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10+8}{6} = \frac{18}{6} = 3$.

Разложение числителя: $3(x-\frac{1}{3})(x-3) = (3x-1)(x-3)$.

Теперь разложим знаменатель $x^2-3x$, вынеся общий множитель $x$ за скобки: $x^2-3x = x(x-3)$.

Подставим разложения в дробь и сократим общий множитель $(x-3)$:
$\frac{3x^2-10x+3}{x^2-3x} = \frac{(3x-1)(x-3)}{x(x-3)} = \frac{3x-1}{x}$ (при условии $x \neq 3$ и $x \neq 0$).

Ответ: $\frac{3x-1}{x}$.

в) Чтобы сократить дробь $\frac{x+1}{x^2+4x+3}$, разложим на множители знаменатель $x^2+4x+3$.

Найдем корни уравнения $x^2+4x+3=0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-4 - \sqrt{4}}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.
$x_2 = \frac{-4 + \sqrt{4}}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.

Разложение знаменателя: $(x - (-3))(x - (-1)) = (x+3)(x+1)$.

Подставим разложение в дробь и сократим:
$\frac{x+1}{x^2+4x+3} = \frac{x+1}{(x+3)(x+1)} = \frac{1}{x+3}$ (при условии $x \neq -1$).

Ответ: $\frac{1}{x+3}$.

г) Чтобы сократить дробь $\frac{5x^2+x-4}{x^2+x}$, разложим на множители числитель и знаменатель.

Разложим числитель $5x^2+x-4$, найдя корни уравнения $5x^2+x-4=0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-4) = 1 + 80 = 81$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-1 - \sqrt{81}}{2 \cdot 5} = \frac{-1-9}{10} = -1$.
$x_2 = \frac{-1 + \sqrt{81}}{2 \cdot 5} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$.

Разложение числителя: $5(x-(-1))(x-\frac{4}{5}) = 5(x+1)(x-\frac{4}{5}) = (x+1)(5x-4)$.

Разложим знаменатель $x^2+x$, вынеся $x$ за скобки: $x^2+x = x(x+1)$.

Подставим разложения в дробь и сократим общий множитель $(x+1)$:
$\frac{5x^2+x-4}{x^2+x} = \frac{(x+1)(5x-4)}{x(x+1)} = \frac{5x-4}{x}$ (при условии $x \neq -1$ и $x \neq 0$).

Ответ: $\frac{5x-4}{x}$.