Номер 32.17, страница 181, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 32. Теорема Виета и её применение. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 32.17, страница 181.

Условие.

Не используя формулу корней, найдите корни квадратного уравнения:

32.17 а) $x^2 + 3x + 2 = 0;$

б) $x^2 - 15x + 14 = 0;$

в) $x^2 + 8x + 7 = 0;$

г) $x^2 - 19x + 18 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для решения данных квадратных уравнений, не используя формулу корней, можно применить теорему Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ теорема Виета утверждает, что сумма корней ($x_1$ и $x_2$) равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

$x_1 + x_2 = -p$

$x_1 \cdot x_2 = q$

Решим каждое уравнение, используя этот метод.

а)

В уравнении $x^2 + 3x + 2 = 0$ коэффициенты равны $p=3$ и $q=2$.

Согласно теореме Виета, ищем два числа $x_1$ и $x_2$, для которых выполняются условия:

$x_1 + x_2 = -3$

$x_1 \cdot x_2 = 2$

Методом подбора находим, что этими числами являются -1 и -2. Проверим:

$(-1) + (-2) = -3$

$(-1) \cdot (-2) = 2$

Оба условия выполняются, следовательно, это корни уравнения.

Ответ: -2; -1.

б)

В уравнении $x^2 - 15x + 14 = 0$ коэффициенты равны $p=-15$ и $q=14$.

Ищем корни $x_1$ и $x_2$ по теореме Виета:

$x_1 + x_2 = -(-15) = 15$

$x_1 \cdot x_2 = 14$

Подбором находим, что этими числами являются 1 и 14. Проверим:

$1 + 14 = 15$

$1 \cdot 14 = 14$

Условия верны. Корни найдены правильно.

Ответ: 1; 14.

в)

В уравнении $x^2 + 8x + 7 = 0$ коэффициенты равны $p=8$ и $q=7$.

Ищем корни $x_1$ и $x_2$ по теореме Виета:

$x_1 + x_2 = -8$

$x_1 \cdot x_2 = 7$

Подбором находим, что этими числами являются -1 и -7. Проверим:

$(-1) + (-7) = -8$

$(-1) \cdot (-7) = 7$

Условия выполняются, корни найдены верно.

Ответ: -7; -1.

г)

В уравнении $x^2 - 19x + 18 = 0$ коэффициенты равны $p=-19$ и $q=18$.

Ищем корни $x_1$ и $x_2$ по теореме Виета:

$x_1 + x_2 = -(-19) = 19$

$x_1 \cdot x_2 = 18$

Подбором находим, что этими числами являются 1 и 18. Проверим:

$1 + 18 = 19$

$1 \cdot 18 = 18$

Условия верны. Корни найдены правильно.

Ответ: 1; 18.