Номер 32.22, страница 182, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 32. Теорема Виета и её применение. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 32.22, страница 182.

Условие.

32.22 Упростите выражение:

a) $(\frac{1}{x+2} + \frac{5}{x^2-x-6} + \frac{2x}{x-3}) \cdot \frac{x}{2x+1};$

б) $(\frac{2}{x+1} + \frac{10}{x^2-3x-4} + \frac{3x}{x-4}) : \frac{3x+2}{3}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Сначала упростим выражение в скобках: $ \frac{1}{x+2} + \frac{5}{x^2 - x - 6} + \frac{2x}{x-3} $.

Для этого найдем общий знаменатель. Разложим на множители знаменатель второй дроби: $x^2 - x - 6$. Корнями уравнения $x^2 - x - 6 = 0$ являются $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$. Следовательно, $x^2 - x - 6 = (x-3)(x+2)$.

Теперь выражение в скобках имеет вид: $ \frac{1}{x+2} + \frac{5}{(x-3)(x+2)} + \frac{2x}{x-3} $.

Общий знаменатель для этих дробей – $(x-3)(x+2)$. Приведем все дроби к общему знаменателю и сложим их:

$ \frac{1 \cdot (x-3)}{(x+2)(x-3)} + \frac{5}{(x-3)(x+2)} + \frac{2x \cdot (x+2)}{(x-3)(x+2)} = \frac{x-3+5+2x(x+2)}{(x-3)(x+2)} $

Упростим числитель:

$ x - 3 + 5 + 2x^2 + 4x = 2x^2 + 5x + 2 $

Разложим числитель $2x^2 + 5x + 2$ на множители. Корнями уравнения $2x^2 + 5x + 2=0$ являются $x_1 = -2$ и $x_2 = -1/2$. Тогда $2x^2 + 5x + 2 = 2(x+2)(x+1/2) = (x+2)(2x+1)$.

Выражение в скобках принимает вид:

$ \frac{(2x+1)(x+2)}{(x-3)(x+2)} $

Сократим дробь на $(x+2)$ (при условии, что $x \neq -2$):

$ \frac{2x+1}{x-3} $

Теперь выполним умножение (в условии задачи стоит знак умножения):

$ \frac{2x+1}{x-3} \cdot \frac{x}{2x+1} $

Сократим дробь на $(2x+1)$ (при условии, что $x \neq -1/2$):

$ \frac{x}{x-3} $

Ответ: $ \frac{x}{x-3} $.

б)

Сначала упростим выражение в скобках: $ \frac{2}{x+1} + \frac{10}{x^2 - 3x - 4} + \frac{3x}{x-4} $.

Разложим на множители знаменатель второй дроби: $x^2 - 3x - 4$. Корнями уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$ являются $x_1 = 4$ и $x_2 = -1$. Следовательно, $x^2 - 3x - 4 = (x-4)(x+1)$.

Теперь выражение в скобках имеет вид: $ \frac{2}{x+1} + \frac{10}{(x-4)(x+1)} + \frac{3x}{x-4} $.

Общий знаменатель – $(x-4)(x+1)$. Приведем дроби к общему знаменателю:

$ \frac{2(x-4)}{(x-4)(x+1)} + \frac{10}{(x-4)(x+1)} + \frac{3x(x+1)}{(x-4)(x+1)} = \frac{2(x-4)+10+3x(x+1)}{(x-4)(x+1)} $

Упростим числитель:

$ 2x - 8 + 10 + 3x^2 + 3x = 3x^2 + 5x + 2 $

Разложим числитель $3x^2 + 5x + 2$ на множители. Корнями уравнения $3x^2 + 5x + 2=0$ являются $x_1 = -1$ и $x_2 = -2/3$. Тогда $3x^2 + 5x + 2 = 3(x+1)(x+2/3) = (x+1)(3x+2)$.

Выражение в скобках принимает вид:

$ \frac{(3x+2)(x+1)}{(x-4)(x+1)} $

Сократим дробь на $(x+1)$ (при условии, что $x \neq -1$):

$ \frac{3x+2}{x-4} $

Теперь выполним деление. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь:

$ \frac{3x+2}{x-4} : \frac{3x+2}{3} = \frac{3x+2}{x-4} \cdot \frac{3}{3x+2} $

Сократим дробь на $(3x+2)$ (при условии, что $x \neq -2/3$):

$ \frac{3}{x-4} $

Ответ: $ \frac{3}{x-4} $.