Номер 32.20, страница 182, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 32. Теорема Виета и её применение. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 32.20, страница 182.

Условие.

Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа:

32.20 а) $x_1 = 4; x_2 = 2;$

б) $x_1 = 3; x_2 = -5;$

в) $x_1 = -8; x_2 = 1;$

г) $x_1 = -6; x_2 = -2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для составления квадратного уравнения, зная его корни $x_1$ и $x_2$, можно воспользоваться теоремой, обратной теореме Виета. Согласно этой теореме, приведенное квадратное уравнение (т.е. уравнение, в котором коэффициент при $x^2$ равен 1) можно записать в виде:

$x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 \cdot x_2 = 0$

Эта формула означает, что коэффициент при $x$ равен сумме корней, взятой с противоположным знаком, а свободный член равен их произведению.

а) Даны корни $x_1 = 4$ и $x_2 = 2$.

Найдем сумму и произведение корней:

Сумма: $x_1 + x_2 = 4 + 2 = 6$.

Произведение: $x_1 \cdot x_2 = 4 \cdot 2 = 8$.

Подставим эти значения в общую формулу уравнения:

$x^2 - (6)x + 8 = 0$

Ответ: $x^2 - 6x + 8 = 0$.

б) Даны корни $x_1 = 3$ и $x_2 = -5$.

Найдем сумму и произведение корней:

Сумма: $x_1 + x_2 = 3 + (-5) = -2$.

Произведение: $x_1 \cdot x_2 = 3 \cdot (-5) = -15$.

Подставим эти значения в общую формулу уравнения:

$x^2 - (-2)x + (-15) = 0$

Упростив выражение, получим:

$x^2 + 2x - 15 = 0$

Ответ: $x^2 + 2x - 15 = 0$.

в) Даны корни $x_1 = -8$ и $x_2 = 1$.

Найдем сумму и произведение корней:

Сумма: $x_1 + x_2 = -8 + 1 = -7$.

Произведение: $x_1 \cdot x_2 = -8 \cdot 1 = -8$.

Подставим эти значения в общую формулу уравнения:

$x^2 - (-7)x + (-8) = 0$

Упростив выражение, получим:

$x^2 + 7x - 8 = 0$

Ответ: $x^2 + 7x - 8 = 0$.

г) Даны корни $x_1 = -6$ и $x_2 = -2$.

Найдем сумму и произведение корней:

Сумма: $x_1 + x_2 = -6 + (-2) = -8$.

Произведение: $x_1 \cdot x_2 = (-6) \cdot (-2) = 12$.

Подставим эти значения в общую формулу уравнения:

$x^2 - (-8)x + 12 = 0$

Упростив выражение, получим:

$x^2 + 8x + 12 = 0$

Ответ: $x^2 + 8x + 12 = 0$.