Номер 32.21, страница 182, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 32. Теорема Виета и её применение. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 32.21, страница 182.

Условие.

32.21 a) $x_1 = 2,5$; $x_2 = -2$;

б) $x_1 = \frac{2}{3}$; $x_2 = -1\frac{1}{2}$;

в) $x_1 = -2,4$; $x_2 = -1,5$;

г) $x_1 = \frac{3}{5}$; $x_2 = -1\frac{2}{3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Чтобы составить квадратное уравнение по его корням $x_1$ и $x_2$, можно использовать теорему, обратную теореме Виета. Приведенное квадратное уравнение ($a=1$) будет иметь вид $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$. Найдем сумму и произведение корней для каждого случая и составим уравнение.

а) Даны корни $x_1 = 2,5$ и $x_2 = -2$.

1. Найдем сумму корней:

$S = x_1 + x_2 = 2,5 + (-2) = 0,5$.

2. Найдем произведение корней:

$P = x_1 \cdot x_2 = 2,5 \cdot (-2) = -5$.

3. Подставим найденные значения в формулу $x^2 - Sx + P = 0$:

$x^2 - 0,5x - 5 = 0$.

4. Чтобы избавиться от десятичной дроби в коэффициенте, умножим обе части уравнения на 2:

$2(x^2 - 0,5x - 5) = 2 \cdot 0$

$2x^2 - x - 10 = 0$.

Ответ: $2x^2 - x - 10 = 0$.

б) Даны корни $x_1 = \frac{2}{3}$ и $x_2 = -1\frac{1}{2}$.

1. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $x_2 = -1\frac{1}{2} = -\frac{3}{2}$.

2. Найдем сумму корней, приведя дроби к общему знаменателю 6:

$S = x_1 + x_2 = \frac{2}{3} + (-\frac{3}{2}) = \frac{4}{6} - \frac{9}{6} = -\frac{5}{6}$.

3. Найдем произведение корней:

$P = x_1 \cdot x_2 = \frac{2}{3} \cdot (-\frac{3}{2}) = -1$.

4. Подставим найденные значения в формулу $x^2 - Sx + P = 0$:

$x^2 - (-\frac{5}{6})x + (-1) = 0$

$x^2 + \frac{5}{6}x - 1 = 0$.

5. Чтобы избавиться от дробного коэффициента, умножим обе части уравнения на 6:

$6(x^2 + \frac{5}{6}x - 1) = 6 \cdot 0$

$6x^2 + 5x - 6 = 0$.

Ответ: $6x^2 + 5x - 6 = 0$.

в) Даны корни $x_1 = -2,4$ и $x_2 = -1,5$.

1. Найдем сумму корней:

$S = x_1 + x_2 = -2,4 + (-1,5) = -3,9$.

2. Найдем произведение корней:

$P = x_1 \cdot x_2 = (-2,4) \cdot (-1,5) = 3,6$.

3. Подставим найденные значения в формулу $x^2 - Sx + P = 0$:

$x^2 - (-3,9)x + 3,6 = 0$

$x^2 + 3,9x + 3,6 = 0$.

4. Чтобы избавиться от десятичных дробей в коэффициентах, умножим обе части уравнения на 10:

$10(x^2 + 3,9x + 3,6) = 10 \cdot 0$

$10x^2 + 39x + 36 = 0$.

Ответ: $10x^2 + 39x + 36 = 0$.

г) Даны корни $x_1 = \frac{3}{5}$ и $x_2 = -1\frac{2}{3}$.

1. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $x_2 = -1\frac{2}{3} = -\frac{5}{3}$.

2. Найдем сумму корней, приведя дроби к общему знаменателю 15:

$S = x_1 + x_2 = \frac{3}{5} + (-\frac{5}{3}) = \frac{9}{15} - \frac{25}{15} = -\frac{16}{15}$.

3. Найдем произведение корней:

$P = x_1 \cdot x_2 = \frac{3}{5} \cdot (-\frac{5}{3}) = -1$.

4. Подставим найденные значения в формулу $x^2 - Sx + P = 0$:

$x^2 - (-\frac{16}{15})x + (-1) = 0$

$x^2 + \frac{16}{15}x - 1 = 0$.

5. Чтобы избавиться от дробного коэффициента, умножим обе части уравнения на 15:

$15(x^2 + \frac{16}{15}x - 1) = 15 \cdot 0$

$15x^2 + 16x - 15 = 0$.

Ответ: $15x^2 + 16x - 15 = 0$.