Номер 32.15, страница 181, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 32. Теорема Виета и её применение. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 32.15, страница 181.

Условие.

32.15 а) $ \frac{2x^2 + 9x + 7}{x^2 - 1} $

б) $ \frac{9x^2 - 1}{3x^2 - 8x - 3} $

в) $ \frac{2x^2 + 7x - 4}{x^2 - 16} $

г) $ \frac{4x^2 - 1}{2x^2 - 9x - 5} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Чтобы сократить дробь $ \frac{2x^2 + 9x + 7}{x^2 - 1} $, разложим числитель и знаменатель на множители.

1. Разложим числитель $ 2x^2 + 9x + 7 $. Для этого найдем корни квадратного уравнения $ 2x^2 + 9x + 7 = 0 $.
Вычислим дискриминант: $ D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 2 \cdot 7 = 81 - 56 = 25 $.
Найдем корни: $ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-9 + 5}{4} = -1 $.
$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-9 - 5}{4} = -\frac{14}{4} = -\frac{7}{2} $ .
Разложение на множители имеет вид $ a(x-x_1)(x-x_2) $, поэтому $ 2x^2 + 9x + 7 = 2(x - (-1))(x - (-\frac{7}{2})) = 2(x+1)(x+\frac{7}{2}) = (x+1)(2x+7) $.

2. Разложим знаменатель $ x^2 - 1 $ по формуле разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $:
$ x^2 - 1 = (x-1)(x+1) $.

3. Подставим разложенные выражения в исходную дробь и сократим общий множитель $ (x+1) $:
$ \frac{2x^2 + 9x + 7}{x^2 - 1} = \frac{(2x+7)(x+1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{2x+7}{x-1} $.

Ответ: $ \frac{2x+7}{x-1} $.

б)

Чтобы сократить дробь $ \frac{9x^2 - 1}{3x^2 - 8x - 3} $, разложим на множители числитель и знаменатель.

1. Числитель $ 9x^2 - 1 $ является разностью квадратов:
$ 9x^2 - 1 = (3x)^2 - 1^2 = (3x-1)(3x+1) $.

2. Разложим знаменатель $ 3x^2 - 8x - 3 $, найдя корни уравнения $ 3x^2 - 8x - 3 = 0 $.
Дискриминант: $ D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100 $.
Корни: $ x_1 = \frac{8 + \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{8 + 10}{6} = \frac{18}{6} = 3 $.
$ x_2 = \frac{8 - \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{8 - 10}{6} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3} $ .
Следовательно, $ 3x^2 - 8x - 3 = 3(x-3)(x-(-\frac{1}{3})) = 3(x-3)(x+\frac{1}{3}) = (x-3)(3x+1) $.

3. Подставим полученные разложения в дробь и сократим:
$ \frac{9x^2 - 1}{3x^2 - 8x - 3} = \frac{(3x-1)(3x+1)}{(x-3)(3x+1)} = \frac{3x-1}{x-3} $.

Ответ: $ \frac{3x-1}{x-3} $.

в)

Сократим дробь $ \frac{2x^2 + 7x - 4}{x^2 - 16} $, разложив числитель и знаменатель на множители.

1. Разложим числитель $ 2x^2 + 7x - 4 $. Найдем корни уравнения $ 2x^2 + 7x - 4 = 0 $.
Дискриминант: $ D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81 $.
Корни: $ x_1 = \frac{-7 + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 + 9}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $.
$ x_2 = \frac{-7 - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 - 9}{4} = -\frac{16}{4} = -4 $ .
Таким образом, $ 2x^2 + 7x - 4 = 2(x-\frac{1}{2})(x-(-4)) = 2(x-\frac{1}{2})(x+4) = (2x-1)(x+4) $.

2. Знаменатель $ x^2 - 16 $ разложим по формуле разности квадратов:
$ x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x-4)(x+4) $.

3. Подставим разложения в дробь и выполним сокращение:
$ \frac{2x^2 + 7x - 4}{x^2 - 16} = \frac{(2x-1)(x+4)}{(x-4)(x+4)} = \frac{2x-1}{x-4} $.

Ответ: $ \frac{2x-1}{x-4} $.

г)

Сократим дробь $ \frac{4x^2 - 1}{2x^2 - 9x - 5} $. Для этого разложим числитель и знаменатель на множители.

1. Числитель $ 4x^2 - 1 $ является разностью квадратов:
$ 4x^2 - 1 = (2x)^2 - 1^2 = (2x-1)(2x+1) $.

2. Разложим знаменатель $ 2x^2 - 9x - 5 $. Найдем корни уравнения $ 2x^2 - 9x - 5 = 0 $.
Дискриминант: $ D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121 $.
Корни: $ x_1 = \frac{9 + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{9 + 11}{4} = \frac{20}{4} = 5 $.
$ x_2 = \frac{9 - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{9 - 11}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2} $ .
Следовательно, $ 2x^2 - 9x - 5 = 2(x-5)(x-(-\frac{1}{2})) = 2(x-5)(x+\frac{1}{2}) = (x-5)(2x+1) $.

3. Подставим разложения в дробь и сократим общий множитель:
$ \frac{4x^2 - 1}{2x^2 - 9x - 5} = \frac{(2x-1)(2x+1)}{(x-5)(2x+1)} = \frac{2x-1}{x-5} $.

Ответ: $ \frac{2x-1}{x-5} $.