Номер 32.9, страница 180, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 32. Теорема Виета и её применение. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 32.9, страница 180.

Условие.

32.9 При каких значениях параметра $p$ произведение корней квадратного уравнения $x^2 + 3x + (p^2 - 7p + 12) = 0$ равно нулю?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Данное квадратное уравнение имеет вид $ax^2 + bx + c = 0$, где его коэффициенты:
$a = 1$
$b = 3$
$c = p^2 - 7p + 12$

Для того чтобы у квадратного уравнения существовали действительные корни, его дискриминант $D = b^2 - 4ac$ должен быть неотрицательным, то есть $D \ge 0$.

Согласно теореме Виета, произведение корней $x_1$ и $x_2$ квадратного уравнения равно отношению свободного члена к старшему коэффициенту:$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$.

По условию задачи, произведение корней равно нулю:$x_1 \cdot x_2 = 0$.

Следовательно, должно выполняться равенство:$\frac{c}{a} = \frac{p^2 - 7p + 12}{1} = 0$.

Отсюда получаем квадратное уравнение относительно параметра $p$:$p^2 - 7p + 12 = 0$.

Решим это уравнение. По теореме, обратной теореме Виета, сумма корней равна 7, а их произведение равно 12. Подбором находим корни:
$p_1 = 3$
$p_2 = 4$

Теперь необходимо убедиться, что при этих значениях параметра $p$ исходное уравнение имеет действительные корни. Для этого проверим условие $D \ge 0$.
Дискриминант исходного уравнения: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (p^2 - 7p + 12)$.

Для найденных значений $p=3$ и $p=4$ выражение в скобках $p^2 - 7p + 12$ равно нулю. Поэтому для этих значений $p$ дискриминант будет равен:$D = 3^2 - 4 \cdot 0 = 9$.

Так как $D = 9 > 0$, при $p=3$ и $p=4$ исходное уравнение имеет два различных действительных корня. Следовательно, эти значения параметра $p$ являются решением задачи.

Ответ: $p=3$, $p=4$.