Номер 32.5, страница 180, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 32. Теорема Виета и её применение. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 32.5, страница 180.

Условие.

32.5 а) $0.2x^2 - 4x - 1 = 0;$

б) $\sqrt{3}x^2 - 12x - 7\sqrt{3} = 0;$

в) $x^2 - \sqrt{5}x + 1 = 0;$

г) $\frac{2}{3}x^2 + 2x - 1 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) Дано квадратное уравнение $0,2x^2 - 4x - 1 = 0$.
Для удобства вычислений умножим обе части уравнения на 5, чтобы избавиться от десятичной дроби:
$5 \cdot (0,2x^2 - 4x - 1) = 5 \cdot 0$
$x^2 - 20x - 5 = 0$
Это квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$ с коэффициентами $a=1$, $b=-20$, $c=-5$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 400 + 20 = 420$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{420} = \sqrt{4 \cdot 105} = 2\sqrt{105}$.
Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x = \frac{-(-20) \pm 2\sqrt{105}}{2 \cdot 1} = \frac{20 \pm 2\sqrt{105}}{2} = 10 \pm \sqrt{105}$.
Ответ: $10 \pm \sqrt{105}$.

б) Дано квадратное уравнение $\sqrt{3}x^2 - 12x - 7\sqrt{3} = 0$.
Для упрощения разделим обе части уравнения на $\sqrt{3}$:
$\frac{\sqrt{3}x^2}{\sqrt{3}} - \frac{12x}{\sqrt{3}} - \frac{7\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 0$
$x^2 - \frac{12\sqrt{3}}{3}x - 7 = 0$
$x^2 - 4\sqrt{3}x - 7 = 0$
Коэффициенты полученного уравнения: $a=1$, $b=-4\sqrt{3}$, $c=-7$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-4\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 16 \cdot 3 + 28 = 48 + 28 = 76$.
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{76} = \sqrt{4 \cdot 19} = 2\sqrt{19}$.
Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x = \frac{-(-4\sqrt{3}) \pm 2\sqrt{19}}{2 \cdot 1} = \frac{4\sqrt{3} \pm 2\sqrt{19}}{2} = 2\sqrt{3} \pm \sqrt{19}$.
Ответ: $2\sqrt{3} \pm \sqrt{19}$.

в) Дано квадратное уравнение $x^2 - \sqrt{5}x + 1 = 0$.
Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=-\sqrt{5}$, $c=1$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-\sqrt{5})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 5 - 4 = 1$.
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{1} = 1$.
Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x = \frac{-(-\sqrt{5}) \pm 1}{2 \cdot 1} = \frac{\sqrt{5} \pm 1}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{5} \pm 1}{2}$.

г) Дано квадратное уравнение $\frac{2}{3}x^2 + 2x - 1 = 0$.
Умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от дроби в коэффициенте:
$3 \cdot (\frac{2}{3}x^2 + 2x - 1) = 3 \cdot 0$
$2x^2 + 6x - 3 = 0$
Коэффициенты полученного уравнения: $a=2$, $b=6$, $c=-3$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 6^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 36 + 24 = 60$.
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{60} = \sqrt{4 \cdot 15} = 2\sqrt{15}$.
Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x = \frac{-6 \pm 2\sqrt{15}}{2 \cdot 2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{15}}{4} = \frac{2(-3 \pm \sqrt{15})}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{15}}{2}$.
Ответ: $\frac{-3 \pm \sqrt{15}}{2}$.